แนะนำเรื่องอัตราการเชื่อมโยง

คำศัพท์

English	ความหมาย
related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/	อัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง
time/taɪm/	เวลา

เมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงหนึ่งขับเคลื่อนอีกอัตราการเปลี่ยนแปลงหนึ่ง

พองลูกโป่ง:รัศมีมันขยายออก, และ เนื่องจาก的事情นั้น, ปริมาตร它也 expanding也随之增加 too
อัตราทั้งสองเชื่อมโยงกัน — การรู้ว่ารัศมีเปลี่ยนไปอย่างไรเร็ว บอกได้ว่าปริมาตรเปลี่ยนไปอย่างไรเร็ว
ปัญหาประเภทนี้เรียกว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง: หลายปริมาณที่เปลี่ยนแปลงไปด้วยกันในเวลาเดียวกัน
กลไกที่เชื่อมโยงพวกมันคือ กฎโซ่, ใช้เทียบกับ เวลา

ฝึกฝน

โจทย์关于อัตราการเชื่อมโยง เชื่อมโยงอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณที่ขึ้นอยู่กับ...

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

друг другเท่านั้น
เวลา
อุณหภูมิ
ไม่มีสิ่งใด

เริ่มต้นด้วยสมการที่เชื่อมโยงตัวแปรเข้าด้วยกัน

ก่อนอื่น หา สมการ ที่ผูกปริมาณเหล่านั้นเข้าด้วยกัน — โดยทั่วไปคือเรขาคณิตหรือสูตร
ลูกโป่ง: $V=\tfrac43\pi r^3$ เชื่อมโยงปริมาตรและรัศมี
เสาลันดีลไถลงกำแพง: $x^2+y^2=L^2$ (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) เชื่อมโยงระยะทางทั้งสองเข้าด้วยกัน
สมการเชื่อมโยงนี้เป็นจริงในทุกช่วงเวลา เราจึงสามารถหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาได้

สำรวจ

ปริมาตรเพิ่มขึ้นตามรัศมี

y = a·x³ (V เทียบกับ r)

$V=\tfrac43\pi r^3$ เปรียบเสมือนการเพิ่มขึ้นอย่างรุนแรง — อัตรารัศมีเล็กน้อยทำให้เกิดอัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาตรมากเมื่อ $r$ มีค่าใหญ่

ฝึกฝน

ขั้นตอนแรกคือการเขียน ____ ที่เชื่อมโยงตัวแปรที่เปลี่ยนแปลง

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

บันไดยาว $L$ พาดอยู่บนกำแพง สมการใดเชื่อมโยงระยะห่างฐาน $x$ และความสูง $y$?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$x+y=L$
$x^2+y^2=L^2$
$xy=L$
$x^2-y^2=L^2$

หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา

ตัวแปรทุกอย่างซ่อน Dependency กับ $t$ ไว้ ดังนั้นการหาอนุพันธ์จะนำอัตราการเปลี่ยนแปลงของแต่ละตัวแปรเข้ามา — ผ่าน กฎโซ่
$\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ ให้ $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$
แต่ละพจน์贡献一个 "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" 因子 — เหมือนกับการหาอนุพันธ์แบบImplicit แต่ตัวแปรที่ซ่อนอยู่คือ $t$
ตอนนี้สมการเชื่อมโยง อัตราการเปลี่ยนแปลง $\tfrac{dV}{dt}$ และ $\tfrac{dr}{dt}$ เข้าด้วยกันแล้ว

ฝึกฝน

การหาอนุพันธ์ $V=\tfrac43\pi r^3$ เทียบกับ $t$ ให้ $\dfrac{dV}{dt}=$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$4\pi r^2$
$4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$
$\tfrac43\pi r^2$
$3r^2$

แยกข้อมูลที่มีจากสิ่งที่ต้องการหา

อ่านโจทย์และกำหนดป้ายกำกับ: อัตราไหนเป็น ข้อมูลที่โจทย์ให้มา, และอัตราเดียวไหนเป็น สิ่งที่ต้องการหา?
"รัศมีขยายตัวที่ $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ เป็นข้อมูลที่โจทย์ให้มา
"ปริมาตรขยายตัวเร็วเท่าไร?" → $\tfrac{dV}{dt}$ คือสิ่งที่ต้องการหา
ระวังปริมาณคงที่อื่นๆ (เช่น รัศมี * ณ ช่วงเวลาที่โจทย์ถามถึง*)

ฝึกฝน

การหาอนุพันธ์ $r^3$ เทียบกับเวลา ให้เพียง $3r^2$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

"รัศมีเพิ่มขึ้นที่ $2$ ซม./วินาที; ปริมาตรเพิ่มขึ้นเร็วแค่ไหน?" เลือก ทุกฉลากที่ถูกต้อง

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

$\tfrac{dr}{dt}=2$ ถูกกำหนดให้
$\tfrac{dV}{dt}$ เป็นค่าที่ไม่ทราบ
$\tfrac{dV}{dt}=2$ ถูกกำหนดให้
สมการที่เชื่อมโยงคือ $V=\tfrac43\pi r^3$

Watch out

ตัวแปรของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องเป็นฟังก์ชันของ เวลา ดังนั้นการหาอนุพันธ์ $r^3$ จะได้ $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — ห้าม ทำแค่ $3r^2$ การลืม $\tfrac{dr}{dt}$ (ปัจจัยอัตราการเปลี่ยนแปลงจากกฎโซ่) เป็นข้อผิดพลาดหลัก Every changing quantity contributes its own $\tfrac{d(\ )}{dt}$

Example

ปริมาตรลูกโป่งคือ $V=\tfrac43\pi r^3$ จัดตั้งสมการอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง

หาอนุพันธ์เทียบกับ $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$
สิ่งนี้เชื่อมโยงอัตราการเติบโตของปริมาตรกับอัตราการเติบโตของรัศมี
จาก $\tfrac{dr}{dt}$ และ $r$ ปัจจุบัน เราสามารถแก้หาค่า $\tfrac{dV}{dt}$ ได้เลย (บทเรียนถัดไป)

Key idea

โจทย์ related rates เชื่อมโยงอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณสองอย่างขึ้นไปใน เวลา เขียน สมการ ที่เชื่อมโยงตัวแปร (มักเป็นเรขาคณิต) แยกอนุพันธ์เทียบกับ $t$ โดยใช้ กฎลูกโซ่ (แต่ละตัวแปรจะได้ $\tfrac{d(\ )}{dt}$) และระบุว่าอัตราใดคือสิ่งที่ ให้มา และอัตราใดคือสิ่งที่ ต้องการหา