อัตราการเปลี่ยนแปลงในบริบทการใช้งานอื่นนอกเหนือจากการเคลื่อนที่
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| economics/ˌiːkəˈnɒmɪks/ | เศรษฐศาสตร์ |
อัตราการเปลี่ยนแปลงมีอยู่ทั่วไป ไม่เพียงแต่ในการเคลื่อนที่เท่านั้น
- อนุพันธ์วัดว่า บางสิ่งเปลี่ยนไปอย่างไรเร็ว — และ "บางสิ่ง" นั้นไม่จำเป็นต้องเป็นตำแหน่ง
- เงินทุน, ประชากร, อุณหภูมิ, ความเข้มข้นทางเคมี: ทุกอย่างเปลี่ยนแปลงด้วยอัตราที่เราสามารถสร้างแบบจำลองได้ด้วยอนุพันธ์
- แนวคิด $f'(a)$ = อัตราการเปลี่ยนแปลงนี้ใช้ได้เช่นเดียวกัน; เพียงแต่ หน่วย และเรื่องราวเปลี่ยนไปเท่านั้น
- บทเรียนนี้ฝึกทักษะการอ่านค่าอนุพันธ์จากหลายสาขาวิชา
เศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา ฟิสิกส์ — ใช้เครื่องมือเดียวกัน
- เศรษฐศาสตร์: ถ้า $C(x)$ คือต้นทุน, $C'(x)$ คือ ต้นทุนขอบเขต — ต้นทุนของการผลิตเพิ่มอีกหนึ่งหน่วย ($\tfrac{\$}{\text{unit}}$)
- ชีววิทยา: ถ้า $P(t)$ คือประชากร, $P'(t)$ คืออัตราการเติบโต ($\tfrac{\text{organisms}}{\text{time}}$)
- ฟิสิกส์: ถ้า $Q(t)$ คือประจุไฟฟ้า, $Q'(t)$ คือกระแสไฟฟ้า ($\tfrac{\text{coulombs}}{\text{second}}$ = แอมแปร์)
- ไม่ว่าในสาขาใด หน่วยของอนุพันธ์จะเป็น ผลลัพธ์ต่อตัวแปรต้น เสมอ
$C(x)$ คือค่าใช้จ่ายเป็นดอลลาร์สำหรับ $x$ รายการ หน่วยของต้นทุนส่วนเพิ่ม $C'(x)$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ผลลัพธ์ต่ออินพุต: ดอลลาร์ต่อรายการ
ในเศรษฐศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันต้นทุนเรียกว่า ต้นทุน ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ต้นทุนส่วนเพิ่ม = ต้นทุนของการผลิตเพิ่มอีกหนึ่งหน่วย
จับคู่แต่ละปริมาณกับความหมายของอนุพันธ์ของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
หน่วยของอนุพันธ์จะเป็นผลลัพธ์ต่ออินพุตเสมอสำหรับสาขาวิชานั้นๆ
ฟังก์ชันอัตราการเปลี่ยนแปลงอธิบายพฤติกรรมตามเวลา
- มักจะพบว่าการคำนวณอนุพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันของเวลาเอง, $f'(t)$, ซึ่งอธิบายว่าปริมาณนั้นเปลี่ยนไปอย่างไรเร็วในแต่ละช่วงเวลา
- เมื่อ $f'(t)$ มีค่ามาก ปริมาณนั้น เปลี่ยนแปลง รวดเร็ว; เมื่อ $f'(t)\approx0$, ปริมาณนั้นเกือบคงที่
- กราฟของ $f'(t)$ บอก เรื่องราวของการเปลี่ยนแปลง — จุดสูงสุดคือช่วงเวลาที่มีการเปลี่ยนแปลงรวดเร็วที่สุด
- การอ่านเรื่องราวนี้คือทักษะสำคัญในการทำข้อสอบ
ปริมาตรของถังที่น้ำไหลออก
y = ax² + c
กราฟนี้แสดงปริมาตร $V(t)$; ความชัน (ลบ) คืออัตราการไหลออก $V'(t)$ — กราฟยิ่งชัน Means การไหลออก越快
เครื่องหมายและขนาด ในบริบทที่เหมาะสม
- อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นบวก: ปริมาณกำลังเพิ่มขึ้น (ประชากรเพิ่ม, ถังกำลังเติม)
- อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นลบ: ปริมาณกำลังลดลง (เย็นลง, ระบายน้ำออก, ยอดคงเหลือลดลง)
- ขนาด ใช้เปรียบเทียบความเร็ว: อัตรา $-50$ แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงที่เร็วกว่า $-5$
- ต้องจับคู่ตัวเลขกับประโยคที่ระบุหน่วยเสมอ — นั่นคือสิ่งที่จะทำให้คุณได้คะแนน
สำหรับ $V(t)=100-4t^2$, อัตราคือ $V'(t)=-8t$. หา $V'(3)$ (ลิตรต่อนาที)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$V'(3)=-8(3)=-24$; ไหลออกที่ $24$ ลิตร/นาที
อัตราการเปลี่ยนแปลงติดลบหมายความว่าปริมาณที่ถูกจำลองกำลังลดลง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ติดลบ → ปริมาณลดลง
สองดุลยภาพมีการเปลี่ยนแปลงด้วยอัตรา $-5$ และ $-50$ ดอลลาร์/วัน ตัวใดเปลี่ยนแปลงเร็วที่สุด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ขนาดกำหนดความเร็ว: $|-50|>|-5|$, ดังนั้น $-50$ เปลี่ยนแปลงเร็ว
รักษาหน่วยให้ชัดเจน โดยเฉพาะในทางเศรษฐศาสตร์ ต้นทุนส่วนเพิ่ม (Marginal cost) $C'(x)$ มีหน่วยเป็น ดอลลาร์ต่อรายการ ไม่ใช่ดอลลาร์ — มันคือต้นทุนของ รายการถัดไป ไม่ใช่ยอดรวม การรายงานอัตราในฐานะจำนวนเงิน (หรือตัดหน่วยออกทั้งหมด) ทำให้ความหมายที่ข้อสอบต้องการทดสอบหายไป
ถังน้ำระบายน้ำออกจนปริมาตรเป็น $V(t)=100-4t^2$ ลิตร ($t$ นาที)
- อัตราการเปลี่ยนแปลง: $V'(t)=-8t\ \tfrac{\text{L}}{\text{min}}$
- ที่ $t=3$: $V'(3)=-24\ \tfrac{\text{L}}{\text{min}}$.
- คำอธิบาย: ที่ $3$ นาที น้ำกำลังไหลออกด้วยอัตรา $24$ ลิตรต่อนาที (ค่าลบ = ลดลง)
อนุพันธ์เป็นแบบจำลองของ อัตราการเปลี่ยนแปลง ใน ทุก สาขา — เศรษฐศาสตร์ (ต้นทุนขอบเขต), ชีววิทยา (อัตราการเติบโต), ฟิสิกส์ (กระแสไฟฟ้า) — โดยมีหน่วยเป็น ผลลัพธ์ต่อตัวแปรต้น เสมอ เครื่องหมาย บ่งบอกว่าเพิ่มหรือลด; ขนาด ใช้เปรียบเทียบความเร็ว อธิบายค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงแต่ละค่าในประโยคที่ครบถ้วนและมีหน่วย