การเลือกขั้นตอนสำหรับการหาอนุพันธ์
แนะนำใหม่คุณมีชุดเครื่องมือ — ตอนนี้เลือกเครื่องมือ
- ปัจจุบันคุณ掌握了กำลัง, ค่าคงที่คูณ, บวก/ลบ, คูณ, หาร, ลูกโซ่ และกฎผลต่างพื้นฐาน
- ทักษะในการสอบคือการเลือก กฎที่ถูกต้อง อย่างรวดเร็ว และการรวมกฎใน ลำดับที่ถูกต้อง
- ผลต่างที่ดูยุ่งยากมักจะง่ายเมื่อเห็น โครงสร้าง ของมัน
- บทเรียนนี้เป็นคู่มือตัดสินใจสำหรับการอ่านโครงสร้างนั้น
อ่านโครงสร้างชั้นนอกสุดก่อน
- ถามตัวเอง: ในระดับสูงสุดนี่ มันคือ ผลบวก, ผลคูณ, ผลหาร หรือ การประกอบ?
- ผลบวก/ผลลบ → หาผลต่างทีละพจน์
- ผลคูณ → กฎผลคูณ; ผลหาร → กฎผลหาร
- การประกอบ (ฟังก์ชันภายในฟังก์ชัน) → กฎลูกโซ่, ลอกชั้นนอกออกไปจนถึงชั้นใน
อ่านโครงสร้าง เลือกกฎที่เหมาะสม
y = a / (x − b)
ว่ากราฟมาจากผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันซ้อน会影响 Which rule differentiates it — read the top level first.
$y=x^2\sin x$ ต้องใช้กฎใดในระดับบนสุด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เป็นผลคูณของ $x^2$ และ $\sin x$ → ใช้กฎผลคูณ
โครงสร้างหลักของ $\dfrac{\sin x}{x^2}$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เป็น $\sin x$ หารด้วย $x^2$ — เป็นผลหาร (หรือเขียนใหม่เป็น $x^{-2}\sin x$)
จับคู่ฟังก์ชันแต่ละตัวกับกฎระดับบนสุดที่ต้องการ
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อ่านการดำเนินการภายนอกสุด: แบบแยกพจน์ ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันซ้อน
รวมกฎตามลำดับที่ถูกต้อง
- ฟังก์ชันจริงมีการซ้อนกฎ: ผลคูณwhose factors เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน, หรือผลหารที่มีกฎลูกโซ่อยู่ภายใน
- ทำงาน จากนอกเข้าใน: ใช้กฎระดับบนก่อน แล้วจัดการแต่ละส่วนย่อยด้วยกฎของตัวเอง
- $\dfrac{d}{dx}\big[x^2\sin(3x)\big]$: ใช้กฎผลคูณก่อน, และตัวประกอบ $\sin(3x)$ ต้องการกฎลูกโซ่ → จะได้ $2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3$
- เก็บอนุพันธ์ย่อยไว้ในกล่องที่มีป้ายกำกับเพื่อไม่ให้ตกหล่น
จัดรูป $\dfrac{x^2+x}{x}$ ก่อน แล้วจึงหาอนุพันธ์ อนุพันธ์คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{x^2+x}{x}=x+1$ ดังนั้นอนุพันธ์คือ $1$ — ไม่ต้องใช้กฎผลหาร
สำหรับฟังก์ชันซ้อน ให้ใช้กฎทำงานจากระดับ ____ เข้าไปด้านใน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จัดการกับโครงสร้างภายนอกก่อน แล้วจึงจัดการแต่ละส่วนย่อย
จัดรูปอย่างชาญฉลาด แล้วตรวจสอบความสมเหตุสมผล
- ก่อนเริ่มทำงาน ให้ถามว่าพีชคณิตจะทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่: กางผลคูณเล็ก ๆ หรือแยกเศษส่วนออกเป็นพจน์
- $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1$, ดังนั้นผลต่างของมันคือ $1$ — ไม่จำเป็นต้องใช้กฎผลหาร
- หลังหาผลต่างแล้ว ตรวจสอบ ความสมเหตุสมผล: จำนวนพจน์ถูกต้อง, สัญญาณเหมาะสม, หน่วยLogs
- การเลือกวิธีที่ดีตั้งแต่ต้นดีกว่าการขยี้ผ่านกฎที่ยากที่สุดด้วยการ Reflexion
หลังหาอนุพันธ์แล้ว การตรวจสอบคำตอบว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ (จำนวนพจน์ เครื่องหมาย) เป็นวิธีปฏิบัติที่ดี
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การตรวจสอบความถูกต้องเบื้องต้นช่วยดักจับข้อผิดพลาดได้หลายจุด
จับคู่กฎกับ โครงสร้างระดับบน ไม่ใช่สัญลักษณ์แรกที่คุณเห็น $\dfrac{\sin x}{x^2}$ เป็น ผลหาร (ใช้กฎผลหารหรือเขียนใหม่เป็น $x^{-2}\sin x$ เพื่อใช้กฎผลคูณ) — มัน ไม่ใช่ เพียงแค่ "ผลต่างของ $\sin$" การอ่านโครงสร้างผิดจะพาคุณลงสู่กฎที่ผิดทั้งหมด
ดิฟ $y=\dfrac{e^{x}}{x^2+1}$
- ระดับบนคือ ผลหาร: $f=e^x$, $g=x^2+1$
- $f'=e^x$, $g'=2x$ (โดยที่ $g'$ เป็นขั้นตอนย่อยของการใช้กฎเลขชี้กำลังอย่างง่าย)
- $y'=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$.
การเลือกขั้นตอน: อ่าน โครงสร้างระดับบน — บวก, คูณ, หาร หรือ เชื่อมต่อ — และใช้กฎนั้นก่อน จากนั้นจัดการแต่ละส่วนย่อยด้วยกฎของตัวเอง ทำงาน จากนอกเข้าใน จัดรูปด้วยพีชคณิตเมื่อทำได้ง่ายกว่า และตรวจสอบผลลัพธ์เพื่อ ความสมเหตุสมผล