การหาอนุพันธ์อันดับสูง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์อันดับสอง |
| higher-order derivatives/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪvz/ | อนุพันธ์อันดับสูง |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | ความเร่ง |
หาผลต่างของผลต่าง
- ไม่มีอะไรห้ามคุณหาผลต่างของ $f'$ อีกครั้ง ผลลัพธ์คือ ผลต่างอันดับสอง $f''$
- ทำต่อไปและจะได้ อนุพันธ์อันดับสูงกว่า: $f'''$, $f^{(4)}$ และอื่นๆ
- แต่ละอันวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของอันก่อนหน้า
- ผลต่างอันดับสองคือดาวเด่น: มันอธิบายว่า ความชันเอง กำลังเปลี่ยนแปลงอย่างไร
ฟังก์ชันกำลังสามและความชันของมัน
y = ax³ + bx
$f'$ ของฟังก์ชันกำลังสามเป็นพาราโบลา และ $f''$ เป็นเส้นตรง — อนุพันธ์แต่ละตัวจะลดระดับลงหนึ่งขั้น
ทำซ้ำกระบวนการ
- หาค่า $f'$ โดยใช้กฎใดก็ได้ที่ต้องการ แล้วหาผลต่าง ค่าที่ได้ นั้นเพื่อรับ $f''$
- $f(x)=x^4 \Rightarrow f'(x)=4x^3 \Rightarrow f''(x)=12x^2 \Rightarrow f'''(x)=24x$.
- แต่ละขั้นตอนเป็นการหาผลต่างธรรมดา — ไม่มีเทคนิคใหม่ เพียงนำไปใช้อีกครั้ง
- จัดรูป $f'$ ก่อนหาผลต่างอีกครั้ง เพื่อให้พีชคณิตสะอาด
สำหรับ $f(x)=x^4$, ค่าของ $f'(x)$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=4x^3$ แล้วตามด้วย $f''=12x^2$
สำหรับ $f(x)=x^3-2x^2+5x$, $f'(x)=6x-4$. หา $f'(2)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(2)=6(2)-4=8$.
สำหรับ $f(x)=x^3-2x^2+5x$, เลือก ทุก อนุพันธ์ที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
หาอนุพันธ์ทีละขั้นตอน; ตัวเลือกที่สี่เป็นการจัดรูปที่ผิด
สัญลักษณ์สำหรับอนุพันธ์อันดับสูง
- สัญลักษณ์ prime: $f''(x)$, $f'''(x)$, แล้ว $f^{(4)}(x)$ (ตัวเลขที่มากกว่าสาม prime).
- สัญลักษณ์ Leibniz: $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ สำหรับอนุพันธ์อันดับสอง, $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ สำหรับอนุพันธ์อันดับสาม.
- อ่าน $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ ว่า "d-squared-y d-x-squared" — หมายความว่า "หาอนุพันธ์ $y$ สองครั้ง"
- ทั้งสองสัญลักษณ์นี้มีความหมายเหมือนกันเป๊ะ
ในสัญลักษณ์莱布尼茨 อนุพันธ์อันดับสองของ $y$ เขียนว่า $\dfrac{d^2 y}{dx^{\square}}$. เลขชี้กำลัง $\square$ เป็น ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
ความหมายของอนุพันธ์อันดับสอง คืออะไร
- $f'$ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ $f$; $f''$ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ $f'$.
- ถ้า $f$ คือตำแหน่ง, แล้ว $f'$ คือความเร็ว และ $f''$ คือ ความเร่ง — ความเร็วเปลี่ยนไปเร็วแค่ไหน
- สัญญาณของ $f''$ บอกคุณเกี่ยวกับ ความเว้า (โค้งขึ้นหรือลง), ซึ่งจะได้เรียนในหน่วยที่ 5
- ดังนั้น อนุพันธ์อันดับสูงจึงไม่ใช่เรื่องไร้สาระ — $f''$ มีนัยยะทางกายภาพที่แท้จริง
อนุพันธ์อันดับสอง $f'$ เท่ากับ $(f')^2$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'$ คืออนุพันธ์ของ $f'$ ไม่ใช่กำลังสองของมัน
หาก $f$ คือตำแหน่ง อนุพันธ์อันดับสอง $f'$ แทนถึง...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=$ คือความเร็ว, $f''=$ คือความเร่ง
$f''$ เป็นอนุพันธ์ของ $f'$, ไม่ใช่กำลังสองของ $f'$: $f''\neq(f')^2$. และใช้กฎ chain/product/quotient อีกครั้ง ในแต่ละขั้นตอน — การหาอนุพันธ์ $f'=\sin(x^2)$ เพื่อให้ได้ $f''$ ก็ยังต้องใช้กฎ chain อยู่ อย่าหยุดใช้กฎเพราะคุณอยู่ในรอบที่สองแล้ว
หาค่า $f''(x)$ สำหรับ $f(x)=x^3-2x^2+5x$
- อนุพันธ์อันดับแรก: $f'(x)=3x^2-4x+5$
- หาอนุพันธ์อีกครั้ง: $f''(x)=6x-4$
- (อีกทีหนึ่ง: $f'''(x)=6$, และ $f^{(4)}(x)=0$.)
อนุพันธ์อันดับสูงหาได้จากการหาอนุพันธ์ซ้ำๆ: $f''$ เป็นอนุพันธ์ของ $f'$, และอื่น ๆ เขียนเป็น $f''(x)$ / $\frac{d^2y}{dx^2}$, ฯลฯ อนุพันธ์อันดับสองคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของอนุพันธ์อันดับแรก (เช่น ความเร่ง), และสัญญาณของมันจะอธิบายความเว้า ใช้กฎ chain/product/quotient ต่อเนื่องในทุกขั้นตอน