การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Tangent, Cotangent, Secant และ Cosecant
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | ตรีโกณมิติ |
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกสี่ตัว
- เราทราบ $\sin'=\cos$ และ $\cos'=-\sin$ ฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกสี่ตัวเป็น ผลหาร ของสิ่งเหล่านี้ทั้งหมด
- ดังนั้น กฎผลหาร จึงหาค่าอนุพันธ์ของพวกมัน — ไม่มีเวทมนตร์ใหม่, แค่พีชคณิตที่ระมัดระวัง
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- เรียนรู้ผลลัพธ์สี่ข้อ, แต่รู้ว่าพวกมัน มาจาก กฎผลหาร
อนุพันธ์ทั้งสี่ข้อนี้ได้มาจากการใช้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละของ $\tan,\cot,\sec,\csc$ เป็นเศษส่วนของ $\sin$/$\cos$
การหา $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- กฎผลหาร: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$
- เนื่องจาก $\cos^2 x+\sin^2 x=1$: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$
- ดังนั้น $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ และ, ในทำนองเดียวกัน, $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$
คลื่น sine ที่มีอัตราส่วนทำให้เกิด tan
$\tan x=\sin x/\cos x$; อนุพันธ์ $\sec^2 x$ ของมันเป็นบวกเสมอ — tan เพิ่มขึ้นทุกจุดที่นิยามได้
ค่าของ $\dfrac{d}{dx}[\tan x]$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จากกฎผลหารบน $\sin/\cos$: $\sec^2 x$
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันคือ $-\csc^2 x$
คู่ของ secant และ cosecant
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- รูปแบบ: ฟังก์ชัน "co-" ($\cos,\cot,\csc$) ทั้งหมดมี เครื่องหมายลบ ในอนุพันธ์ของมัน
- ทั้งสี่ข้อเหล่านี้ตามมาจากกฎผลหารที่นำไปใช้กับ $\tfrac1{\cos}$ หรือ $\tfrac1{\sin}$
ค่าของ $\dfrac{d}{dx}[\sec x]$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
อนุพันธ์ของ $\cot x$ และ $\csc x$ ทั้งคู่มีเครื่องหมายลบ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$-\csc^2 x$ และ $-\csc x\cot x$ — ฟังก์ชัน "co-" จะมีเครื่องหมายลบ
การใช้ร่วมกับกฎอื่นๆ
- อนุพันธ์ ตรีโกณมิติ เหล่านี้รวมกับกฎผลคูณและผลหารได้เหมือน其他的任何其他
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (กฎผลคูณ)
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- รักษาคำตอบสี่ข้อในกรอบไว้ใกล้ตัว; พวกมันปรากฏตลอดหลักสูตรที่เหลือ
เลือก ทั้งหมด อนุพันธ์ที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ข้อสุดท้ายผิด: ควรเป็น $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, ไม่ใช่ $\sec^2 x$
ระวัง เครื่องหมายลบ บนฟังก์ชัน "co-": $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ และ $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ ทั้งคู่มีเครื่องหมายลบ, ตรงกับ $\cos'=-\sin$ การสับสนระหว่าง $\sec^2 x$ (จาก $\tan$) กับ $\csc^2 x$ (จาก $\cot$) เป็นความผิดพลาดที่พบบ่อยอีกครั้ง — จับคู่แต่ละอนุพันธ์กับแหล่งที่มา
ดิฟ $y=x^2\sec x$
- กฎการคูณกับ $f=x^2$, $g=\sec x$: $f'=2x$, $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- ตัวประกอบ: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติเพิ่มเติมอีก 4 ฟังก์ชันสามารถหาได้จากกฎการหาร: $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$, $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$, $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. ฟังก์ชัน "co-" จะติดเครื่องหมาย ลบ. นำไปใช้ร่วมกับกฎการคูณและกฎการหารได้อย่างอิสระ