กฎโซ่
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันประกอบ |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | กฎลูกโซ่ |
| outer/ˈaʊtə/ | ฟังก์ชันชั้นนอก |
| inner/ˈɪnə/ | ฟังก์ชันชั้นใน |
ฟังก์ชันภายในฟังก์ชัน
- อนุพันธ์ของ $(3x+1)^{5}$ คืออะไร? มันคือกำลัง ของ ฟังก์ชัน — ซึ่งเป็น ฟังก์ชันเชิงซ้อน
- การกระจายออกจะยุ่งยากมาก มีกฎที่สร้างมาเพื่อเรื่องนี้โดยเฉพาะ: กฎโซ่ (Chain Rule)
- ฟังก์ชันเชิงซ้อนคือ "ฟังก์ชันชั้นนอกหุ้มไว้รอบฟังก์ชันชั้นใน" เช่น $f(g(x))$
- กฎโซ่จะหาอนุพันธ์ทีละชั้นจากนอกเข้าใน แล้วคูณกัน
กฎ
- สำหรับ $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- เป็นคำพูดว่า: อนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นนอก (ทิ้งส่วนในไว้ตามเดิม) คูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นใน
- ตัว "$\cdot\, g'(x)$" เล็กๆ นี้คือสิ่งที่คนมักลืม — มันคือหัวใจสำคัญ
เส้นโค้งประกอบ
y = ax² + bx + c
ฟังก์ชันประกอบอย่าง $(3x+1)^2$ มีความชันมากกว่าเส้นภายในเพียงอย่างเดียว — กฎโซ่คูณอัตราส่วนภายในเข้าไป
กฎโซ่ให้ $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ภายนอกที่ค่าภายใน, คูณด้วยอนุพันธ์ภายใน
ชี้บอกชั้นนอกและชั้นใน
- ก่อนหาอนุพันธ์ ให้ตั้งชื่อ ฟังก์ชันชั้นนอก และ ฟังก์ชันชั้นใน
- ใน $(3x+1)^5$: ชั้นนอกคือ "(บางสิ่ง)$^5$", ชั้นในคือ $3x+1$
- อนุพันธ์ชั้นนอก: $5(3x+1)^4$. อนุพันธ์ชั้นใน: $3$
- คูณกัน: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$
สำหรับ $y=(2x+1)^3$, หา $y'$ ที่ $x=0$. (กฎโซ่: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=6(2x+1)^2$; ที่ $0$: $6(1)=6$
สำหรับ $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, เลือก ทั้งหมด การระบุที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
รากที่สองคือภายนอก; $x^2+1$ เป็นภายในที่มีอนุพันธ์ $2x$
การต่อโซ่กับกฎอื่นๆ
- กฎโซ่สามารถต่อกับทุกกฎ: กำลัง, การคูณ, การหาร, และอนุพันธ์พื้นฐาน
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — ชั้นนอก $\sin$, ชั้นใน $x^2$
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- สำหรับฟังก์ชันที่ซ้อนกันลึกๆ ให้ลอกชั้นหนึ่งต่อหนึ่ง โดยคูณด้วยอนุพันธ์ชั้นในทุกครั้งที่คุณผ่าน
ค่าของ $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันภายนอก $\cos(x^2)$ คูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน $2x$
ปัจจัยที่มักถูกลืมที่สุดในกฎโซ่คือ อนุพันธ์ ______ $g'(x)$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องคูณด้วย $g'(x)$ หลังหาอนุพันธ์ภายนอกเสร็จแล้ว
ค่าของ $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันภายนอก $e^{3x}$ คูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน $3$
อย่าลืมคูณด้วย อนุพันธ์ชั้นใน $g'(x)$ เสมอ $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ คือ $\cos(x^2)\cdot 2x$, ไม่ใช่ เพียง $\cos(x^2)$ การไม่ใส่ "$\cdot\,g'(x)$" เข้าไปคือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในแคลคูลัส — อนุพันธ์ชั้นนอกเพียงอย่างเดียวเป็นเพียงครึ่งหนึ่งของคำตอบเท่านั้น
ดิฟ $y=\sqrt{x^2+1}$
- เขียนใหม่: $y=(x^2+1)^{1/2}$. ชั้นนอก: $(\ )^{1/2}$; ชั้นใน: $x^2+1$
- อนุพันธ์ชั้นนอก: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. อนุพันธ์ชั้นใน: $2x$
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
กฎโซ่ หาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันเชิงซ้อน: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — อนุพันธ์ของ ชั้นนอก (ชั้นใน untouched) คูณด้วย อนุพันธ์ของ ชั้นใน ระบุชั้นก่อนเสมอ และอย่าDROP ตัวคูณ $\cdot\,g'(x)$ มันรวมกับทุกกฎสำหรับนิพจน์ที่ซ้อนกัน