นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราทันทีที่จุด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | ผลต่างอัตราส่วน |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | เส้น sécant |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | เส้นสัมผัส |
จาก "ตลอดช่วงเวลา" สู่ " ณ วินาทีเดียว"
- หน่วยที่ 1 สร้างแนวคิดเรื่องลิมิต มาถึงตอนนี้เราจะ用它 measure การเปลี่ยนแปลง
- ตลอดช่วงเวลา อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย คือ การเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ÷ ความกว้างของช่วงเวลา
- ณ วินาทีเดียว อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที คือสิ่งที่หน้าปัดความเร็วบอกรถ
- สะพานเชื่อมระหว่างมันคือลิมิต — และสะพาน itulahหัวใจสำคัญของหน่วยเรียน 2
อัตราเฉลี่ย = ความชันของเส้นตัด (secant)
- อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f$ จาก $x=a$ ถึง $x=b$ คือ อัตราส่วนผลต่าง (difference quotient):
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- ในเชิงเรขาคณิตนี่คือ ความชัน ของ เส้นตัด (secant line) ที่เชื่อม $\big(a,f(a)\big)$ กับ $\big(b,f(b)\big)$.
- มันคือ ค่าเฉลี่ย: มันทำให้เรียบเนียนกับทุกสิ่งที่เกิดขึ้นระหว่าง $a$ และ $b$
หาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f(x)=x^2$ on $[1,3]$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยในช่วงเท่ากับ slope ของ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราเฉลี่ย = rise over run ระหว่างสองจุดปลาย = slope เส้นตัด
ลดขนาดช่วงเวลา
- เพื่อให้ได้อัตรา ที่ $x=a$ ให้เลื่อน $b$ เข้าหา $a$ และสังเกตความชันของเส้นคั่น
- เมื่อช่วงเวลาหดตัว เส้นคั่นจะหมุนเข้าหา เส้นสัมผัส ที่ $a$
- ความชันลิมิตคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ที่ $a$
- ไม่มีเวลาไหลผ่าน ณ วินาทีเดียว — ลิมิตคือสิ่งที่ทำให้ "อัตรา ณ จุด" มีความหมาย
เลื่อนเส้นตัดเข้าไปเป็นเส้นสัมผัส
y = x²
เคลื่อนจุดไปตาม $y=x^2$ — ความชันของเส้นสัมผัสที่คุณอ่านได้คืออัตราทันที, ลิมิตของความชันเส้นตัด
อัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีที่จุดเท่ากับ slope ของ _______ line there
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเป็นลิมิตของความชันเส้นตัดเมื่อช่วงหดเล็กลง — ความชันเส้นสัมผัส
อ่านค่าอัตราจากบริบท
- เครื่องหมาย บอกทิศทาง: อัตราบวก → เพิ่มขึ้น, ลบ → ลดลง
- ขนาด บอกความเร็ว: ค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่ขึ้นหมายถึงการเปลี่ยนแปลงที่รวดเร็วขึ้น
- หน่วยมีความสำคัญ: สำหรับตำแหน่งเป็นเมตรเมื่อเทียบกับเวลาเป็นวินาที อัตราจะเป็น $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — ซึ่งคือความเร็ว
- ดังนั้น อัตราเฉลี่ย = ความชันเส้นตัด (ตลอดช่วงเวลา); อัตราทันที = ความชันเส้นสัมผัส (ณ จุด)
ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f$ on $[0,4]$ เป็น $0$, แล้ว $f$ ต้องคงที่บน $[0,4]$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันหมายถึงแค่ $f(0)=f(4)$; $f$ could rise then fall (เช่น ออกไปและกลับมา)
สำหรับ $f(x)=x^2$, อัตราเฉลี่ยบน $[3,3.1]$ และ $[3,3.01]$ เป็น $6.1$ และ $6.01$. ประมาณอัตราทันทีที่ $x=3$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าเฉลี่ยเข้าใกล้ $6$
ฟังก์ชันตำแหน่งมีอัตราการเปลี่ยนแปลงทันที $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ที่เวลา $t$ เลือก ทั้งหมด คำอ่านที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อัตราติดลบ = เคลื่อนที่ในทิศทางลบ (ดังนั้นตำแหน่งลดลง); ขนาดของมันคือความเร็ว; และเป็นความชันของเส้นสัมผัส
อัตราเฉลี่ยและอัตราทันที ไม่ใช่ สิ่งที่แทนกันได้ อัตราเฉลี่ยตลอด $[a,b]$ อาจเป็นศูนย์ ในขณะที่อัตราทันทีมีค่ามาก在每个 interior point (จินตนาการว่าออกไปแล้วกลับมา) เพียงแต่ในลิมิตของการลดขนาดช่วงเท่านั้นที่อัตราเฉลี่ยจึงกลายเป็นอัตราทันที
สำหรับ $f(x)=x^2$, หาอัตราเฉลี่ยบน $[2,4]$ และประมาณค่าอัตราทันทีที่ $x=2$
- เฉลี่ยบน $[2,4]$: $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- ลดขนาดเข้าหา $2$: บน $[2,2.1]$, $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$; บน $[2,2.01]$, $4.01$.
- อัตราเฉลี่ยจะเข้าใกล้ $4$ —也就是instantaneous rate ที่ $x=2$ คือ $4$.
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย บน $[a,b]$ คือ ผลต่างของอัตราส่วน $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — ซึ่งเป็นความชันของ เส้นคั่น เมื่อลดขนาดช่วงให้เล็กลง เส้นคั่นจะเข้าใกล้ เส้นสัมผัส ซึ่งความชันของเส้นสัมผัสคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ณ จุดนั้น