การนิยามอนุพันธ์ของฟังก์ชันและการใช้สัญลักษณ์อนุพันธ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ |
อนุพันธ์: อัตราทันที, บรรจุในชื่อเดียว
- อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที有用มากจนได้ชื่อเฉพาะ: อนุพันธ์ (derivative)
- มันแปลง "ความชันของเส้นสัมผัส ณ $x$ ทุกจุด" ให้เป็นฟังก์ชันใหม่ทั้งหมด, $f'(x)$
- ใส่ $x$ เข้าไป, มันจะคืนค่าความชันของ $f$ ที่จุดนั้นทันที
- บทเรียนนี้ทำให้นิยามแม่นยำและแสดงสัญลักษณ์ที่คุณจะใช้ทุกที่
อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัส
y = x²
ลากจุดไปตามเส้นโค้ง — จำนวนที่แสดงโดยความชันของเส้นสัมผัสจะตรงกับ $f'(x)$ ที่ค่าอินพุตนั้นพอดี
นิยามลิมิต
- อนุพันธ์ ของ $f$ คือ
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- ภายในคือ ผลต่างอัตราส่วน — ความชันของเส้นประในช่องว่างกว้าง $h$
- การทำให้ $h\to0$ เล็กลงจะหดช่องว่างเหลือศูนย์ เปลี่ยนความชันเส้นประให้เป็นความชันเส้นสัมผัส
นิพจน์ใดคือนิยามลิมิตของ $f'(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์คือลิมิตของผลต่าง quotient เมื่อ $h\to0$
รูปแบบ "ที่จุดหนึ่ง"
- เพื่อหาความชันที่อินพุตเฉพาะ $a$, ใช้ รูปแบบอื่น:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- ที่นี่ $x$ ลื่นเข้าหา $a$ แทนที่จะเป็นก้าว $h$ ที่หดไปเป็น $0$ — ความคิดเดียวกัน การบันทึกข้อมูลต่างกัน
- นิยามทั้งสองคือ "ความชันเส้นประ, ในลิมิต", ดังนั้นจึงตรงกันเสมอ
คุณสามารถคำนวณ $f'(x)$ ได้โดยการแทนค่า $h=0$ โดยตรงลงใน $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สิ่งนี้จะได้ $\tfrac00$; คุณต้องหาลิมิตหลังจากจัดรูปอย่างง่ายแล้ว
รูปแบบอื่นของ $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ อธิบายได้ดีที่สุดว่า...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันคือความชันของเส้นสัมผัสที่ $a$ เช่นกัน, แสดงด้วย $x\to a$ แทนที่จะเป็น $h\to0$
อ่านสัญลักษณ์
- ฟังก์ชันอนุพันธ์เดียวกันสวมหลายชุด — ต้องเรียนรู้จดจำทั้งหมด:
- ลากรอง: $f'(x)$ (อ่านว่า " $f$ แพรมของ $x$ ").
- 莱布นิ茨: $\dfrac{dy}{dx}$ หรือ $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — เน้น "อัตราการ $y$ เทียบกับ $x$."
- ทั้งหมดหมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที คือความชันของเส้นสัมผัสที่ $x$
สัญลักษณ์ Leibniz $\dfrac{dy}{dx}$ มีความหมายเดียวกับ $f'(x)$: คือ ____ ของเส้นสัมผัส
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งสองสัญลักษณ์บ่งบอกถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงทันที = ความชันของเส้นสัมผัส
เลือก ทั้งหมด สัญลักษณ์ที่บ่งบอกถึงอนุพันธ์ของ $y=f(x)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สามตัวแรกเป็นอนุพันธ์ทั้งหมด; $f(x)^{-1}$ เป็นส่วนกลับ/ผกผัน ไม่ใช่อนุพันธ์
คุณ ไม่สามารถ ชด $h=0$ ลงไปใน $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ได้เลย — นั้นจะได้ $\tfrac00$ อนุพันธ์คือ ลิมิต เมื่อ $h\to0$, ซึ่งคำนวณโดยลดรูปผลต่างอัตราส่วนก่อน (ตัด $h$), แล้วให้ $h\to0$ การข้ามลิมิตเป็นข้อผิดพลาดคลาสสิก
จากนิยาม, $f(x)=x^2$ ให้ผลลัพธ์เป็น $f'(x)=2x$. คำนวณ $f'(3)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(3)=2\cdot3=6$.
ใช้นิยามเพื่อหาค่า $f'(x)$ สำหรับ $f(x)=x^2$
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (สำหรับ $h\neq0$)
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$ ดังนั้น $f'(x)=2x$
อนุพันธ์ $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (หรือรูปแบบจุด $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) คือลิมิตของ ผลต่างอัตราส่วน — ความชันของเส้นสัมผัส, คืออัตราการเปลี่ยนแปลงทันที เขียนได้เป็น $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, หรือ $\frac{d}{dx}[f(x)]$