การประมาณค่าลิมิตจากกราฟ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | ลิมิตจากซ้าย |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | ลิมิตจากขวา |
| hole/həʊl/ | จุดว่าง |
| jump/dʒʌmp/ | การกระโดด |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | ไม่มีขอบเขต |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | การสั่น |
อ่านค่าลิมิตโดยตรงจากภาพ
- เมื่อได้รับกราฟมา บางครั้งคุณสามารถ มองเห็น ลิมิตได้โดยไม่ต้องใช้พีชคณิต
- วางนิ้วลงบนเส้นโค้งทางซ้ายเล็กน้อยของ $x=c$ แล้วลากตาม toward $c$: คุณกำลังมุ่งสู่ความสูงเท่าไหร่?
- ทำเช่นเดียวกันจากด้านขวา หากนิ้วทั้งสองชี้ไปที่ ความสูงเดียวกัน ความสูงนั้นคือลิมิต
- เทคนิคสำคัญ: ดูว่าเส้นโค้งกำลัง ไปไหน และละเลยจุดพล็อตเดี่ยวๆ ที่ $x=c$
ติดตามเส้นโค้งเข้าหาจุดหนึ่ง
y = ax² + bx + c
เลื่อนเข้าหาค่าเข้าจากซ้ายและขวา — ลิมิต คือความสูงร่วมกันที่เส้นโค้ง เข้าใกล้, ไม่ว่าจุดเดียวจะบอกอะไรไว้
ในการอ่าน $\lim_{x\to c} f(x)$ จากกราฟ คุณควรมองที่...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตคือความสูงร่วมกันที่เข้ามาจากทั้งสองด้าน — จุดที่ $c$ ไม่มีความสำคัญ
ทางซ้ายและขวา อ่านแยกต่างหาก
- ลากตามจากทางซ้ายเท่านั้น → ลิมิตแบบทางซ้าย $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$
- ลากตามจากทางขวาเท่านั้น → ลิมิตแบบทางขวา $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$
- บนกราฟ จุดทึบ ● หมายถึงจุดอยู่บนเส้นโค้ง; จุดกลวง ○ (รูพรุน) หมายความว่าไม่อยู่บนเส้น
- ลิมิตไม่สนใจว่าจุดนั้นจะทึบหรือกลวง — มัน关心เพียงการ เข้าใกล้
กราฟสูงขึ้นอย่างต่อเนื่องและ, ทางซ้ายของ $x=5$, เส้นโค้งผ่านความสูง $2.9, 2.99, 2.999$. ประมาณ $\lim_{x\to 5^-} f(x)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าจากซ้ายเข้าใกล้ $3$, ดังนั้นลิมิตจากซ้ายคือ $3$
เมื่อลิมิตไม่มีอยู่
- รูปทรงกราฟสามแบบคลาสสิกทำให้ลิมิต ล้มเหลว (DNE):
- การกระโดด: ด้านทั้งสองลากตามไปสู่ความสูงต่างกัน
- การระเบิดที่ไม่จำกัด: เส้นโค้งพุ่งขึ้นสู่ $\pm\infty$ ใกล้เส้นประแนวนอน
- การสั่นไหว: เส้นโค้งขยับเร็วอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (เช่น $\sin\frac1x$) และไม่หยุดนิ่ง
หากด้านซ้ายของกราฟมุ่ง toward $2$ และด้านขวามุ่ง toward $6$, ลิมิตไม่มีอยู่เนื่องจาก ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความสูงจากสองด้านต่างกัน Means การกระโดด ขาด continuity, ดังนั้นลิมิตสองด้านจึง DNE
จากกราฟ, เลือก ทุก คุณสมบัติที่ทำให้ $\lim_{x\to c} f(x)$ ล้มเหลวในการมีอยู่
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การระเบิด, การกระโดด, และการแกว่ง杀死ลิมิตทั้งหมด. รูที่แก้ไขไม่ได้ ไม่ได้ — ทั้งสองด้านยังคงตรงกัน
จุดที่ $c$ เป็นตัวหลอก
- ความสูงที่เส้นโค้ง มุ่งเป้าถึง, $\lim_{x\to c}f(x)$, เป็น คำถามแยกต่างหาก จากค่าที่พล็อตไว้ $f(c)$
- เส้นโค้งอาจมุ่งเข้าสู่ $4$ อย่างราบรื่น ในขณะที่จุดเดียวนั่งอยู่ที่ $f(c)=1$ — ลิมิตก็ยังคงเป็น $4$
- $f(c)$ อาจไม่นิยามไว้เลย (เป็นรูพรุน) แต่ลิมิตมีอยู่ได้
- ดังนั้นควรตอบสองคำถามแยกต่างหากเสมอ: เส้นโค้งกำลังไปไหน? และ มีจุดหรือไม่, อยู่ตรงไหน?
หากกราฟแสดงรูว่างที่ $(2,4)$ และจุดเต็มที่ $(2,1)$, แล้ว $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นโค้งเข้าหาความสูง $4$ จากทั้งสองด้าน ดังนั้นลิมิตคือ $4$; จุดเต็มเพียงแต่ $f(2)=1$
เส้นโค้งเรียบผ่านความสูง $7$ ที่ $x=3$ โดยมี ไม่มี รูหรือจุดอื่นใด. What are $f(3)$ และ $\lim_{x\to 3} f(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
โดยไม่มีรูหรือการกระโดด, เส้นโค้งมีความต่อเนื่องที่นั่น, ดังนั้นลิมิต $= f(3) = 7$
กับดักที่พบบ่อย: อ่านค่า $f(c)$ (จุดที่พล็อตไว้) เมื่อคำถามถามถึง $\lim_{x\to c}f(x)$ (การเข้าใกล้) ทั้งสองต่างกัน หากคุณเห็นจุดทึบลอยอยู่ เหนือ เส้นโค้งที่ราบรื่น ลิมิตคือความสูงของเส้นโค้ง — ไม่ใช่ ของจุดนั้น
จากกราฟ: ใกล้ $x=2$ เส้นโค้งพุ่งขึ้นสู่ รูพรุน ที่ความสูง $4$ และมีจุดทึบถูกพล็อตไว้ที่ $(2,\,1)$
- ลิมิตแบบทางซ้าย: มุ่งสู่ $4$. ลิมิตแบบทางขวา: มุ่งสู่ $4$
- ทั้งสองตกลงกัน ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$
- แต่ $f(2) = 1$ (จุดทึบ). ลิมิต $\neq$ ค่าฟังก์ชันที่นี่
ในการอ่านลิมิตจากกราฟ ให้ลากเส้นโค้ง hacia $c$ จาก ทั้งสอง ด้านและถามว่าเรามุ่งสู่ความสูงอะไร; จุดที่พล็อตไว้ที่ $c$ เป็น ตัวหลอก ลิมิตจะเป็น DNE เมื่อด้านต่างๆ ให้ความสูงต่างกัน (การกระโดด), เส้นโค้งเป็น ไม่จำกัด, หรือมัน สั่นไหว ไปเรื่อยๆ