การประมาณค่าลิมิตจากตาราง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | ค่าประมาณ |
| trend/trɛnd/ | แนวโน้ม |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | ลิมิตสองด้าน |
เข้าหาลิมิตด้วยตารางข้อมูล
- ไม่มีกราฟ? ไม่มีสูตรลัด? คุณยังสามารถ ประมาณ ลิมิตได้โดยการสร้าง ตาราง ของผลลัพธ์
- เลือกอินพุตที่ creeping เข้าหา $c$ จากทั้งสองด้านและดูผลลัพธ์
- สำหรับ $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ การแทนค่า $x=2$ จะได้ $\tfrac00$ — ดังนั้นให้สร้างตารางแทน
- ผลลัพธ์จะ เปิดเผย ค่าที่ฟังก์ชันกำลังมุ่งสู่
เข้าใกล้จากทั้งสองด้าน
- เลือกอินพุตที่ ใกล้ $c$ มากขึ้นเรื่อยๆ: จากทางซ้าย $1.9, 1.99, 1.999$; จากทางขวา $2.1, 2.01, 2.001$
- คำนวณฟังก์ชันที่แต่ละจุดและเรียงผลลัพธ์ออกมา
| $x$ | $1.9$ | $1.99$ | $1.999$ | $\to 2 \leftarrow$ | $2.001$ | $2.01$ | $2.1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $3.9$ | $3.99$ | $3.999$ | ? | $4.001$ | $4.01$ | $4.1$ |
- ทั้งสองคอลัมน์บีบอัดเข้าสู่ $4$ ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$
ดูเส้นโค้งเบื้องหลังตาราง
y = ax² + bx + c
ตารางคือเพียงจุดตัวอย่างบนเส้นโค้ง — ลากสัมประสิทธิ์และจินตนาการว่าค่าออกปิดเข้าหาความสูงเดียว
ตารางให้ $f(2.9)=6.9$, $f(2.99)=6.99$, $f(3.01)=7.01$, $f(3.1)=7.1$. ประมาณ $\lim_{x\to 3} f(x)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งสองด้านเข้าใกล้ $7$, ดังนั้นลิมิตคือ $7$
ในการประมาณ $\lim_{x\to 4} f(x)$ จากตาราง, ค่าเข้าที่ดีที่สุดที่ใช้คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าเข้าต้องเข้าใกล้ $4$ จาก ทั้งสอง ด้าน — และหลีกเลี่ยง $x=4$ เอง
ด้านทั้งสองต้องมีแนวโน้มร่วมกัน
- อ่าน แนวโน้ม ทางซ้ายและ แนวโน้ม ทางขวาแยกต่างหาก
- หากทั้งสองมุ่งสู่ตัวเลขเดียวกัน ตัวเลขร่วมนี้คือประมาณการของคุณสำหรับ ลิมิตแบบสองด้าน
- หากคอลัมน์ทางซ้ายลอยเข้าหาค่าหนึ่งและคอลัมน์ทางขวาเข้าหาอีกค่าหนึ่ง ลิมิต จะไม่มีอยู่
- ตารางทำให้เห็นการกระโดดชัดเจน:ตัวเลขปฏิเสธที่จะมาพบกันตรงกลาง
หากคอลัมน์ซ้ายของตารางมีแนวโน้ม hacia $2$ และคอลัมน์ขวามีแนวโน้ม hacia $5$, ลิมิตสองด้านไม่ ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แนวโน้มจากสองด้านต่างกัน Means ลิมิตสองด้านไม่มีอยู่
ตารางมีเพียง บ่งชี้ — ไม่สามารถพิสูจน์ได้
- ตารางแสดง แนวโน้ม ไม่ใช่การรับประกัน ฟังก์ชันอาจทำสิ่งน่าประหลาดใจได้แม้จะใกล้ $c$ มากขึ้น
- ฟังก์ชันบางชนิด (เช่น $\sin\frac1x$) หลอกตารางหยาบ: เลือกอินพุตรูปแบบสวยๆ แล้วรูปแบบดูสงบในขณะที่พฤติกรรมจริงสั่นไหวอย่างรุนแรง
- ดังนั้น การประมาณ แบบตัวเลขจึงเป็นข้อบ่งชี้ที่แข็งแกร่ง ยืนยันในภายหลังด้วยพีชคณิตหรือกราฟ — ไม่ใช่การพิสูจน์ด้วยตนเอง
- เลือกค่าเข้าที่ใกล้กับ $c$ จริงๆ ไม่ใช่แค่ค่าที่สะดวก
ตารางที่มีระเบียบของค่าพิสูจน์ได้ว่าลิมิตเท่ากับอะไรอย่างแม่นยำ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตารางเพียง บ่งชี้ ค่า — สามารถถูกหลอกด้วยการแกว่ง การพิสูจน์ต้องการพีชคณิตหรือทฤษฎีบท
เลือก ทุก วิธีการที่ดีเมื่อประมาณลิมิตจากตาราง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เข้าใกล้จากทั้งสองด้านและ kept skeptical. การแทนค่า $x=c$ misses the point — ลิมิต是关于การเข้าใกล้
ตารางสำหรับ $\dfrac{\sin x}{x}$Near $x=0$ gives $0.998, 0.99998, 0.9999998, \dots$. The limit is...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าออกเข้าใกล้ $1$, ดังนั้นลิมิตคือ $1$ — แม้จะ $f(0)$ เป็น indeterminate $\tfrac00$
ตารางสามารถ ผิดพลาด ได้หากข้อมูลนำเข้ากระจาย太远หรือ落入ใน pattern ที่หลอกลวง $f(x)=\sin\frac{\pi}{x}$ ที่ $x=1,\tfrac12,\tfrac13,\dots$ อ่านได้ $0,0,0,\dots$ — ชี้ให้เห็นว่า limit อยู่ที่ $0$ ที่ $x=0$, ทั้งที่จริงแล้วฟังก์ชันนี้มีการสั่นไหวและ limit ไม่มีอยู่จริง เลือกค่า input ที่เข้าใกล้อย่างแท้จริง และรักษาความระมัดระวังไว้เสมอ
ประมาณค่า $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$ (โดยที่ $x$ เป็นหน่วยเรเดียน)
- $x=0.1 \Rightarrow 0.99833$; $\;x=0.01 \Rightarrow 0.99998$; $\;x=0.001 \Rightarrow 0.9999998$.
- ค่าเดียวกันจากด้านลบโดยใช้ความสมมาตร
- ค่าผลลัพธ์เข้าใกล้ $1$ ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ — ลิมิตที่มีชื่อเสียงที่คุณจะได้พบอีกครั้ง
ในการประมาณลิมิตจาก ตาราง ให้แทนค่าฟังก์ชันที่ค่าเข้าที่วิ่งเข้าหา $c$ จาก ทั้งสอง ด้านและอ่านแนวโน้มร่วมกัน แนวโน้มตรงกัน → ค่านั้นคือลิมิต; แนวโน้มแยกทาง → ไม่มีอยู่จริง (DNE) ตารางเพียงแต่ ชี้แนะ ค่าเท่านั้น อาจถูกหลอกได้ ดังนั้นจึงถือเป็นหลักฐานที่แข็งแกร่ง แต่ไม่ใช่ข้อพิสูจน์