นิยามของลิมิตและการใช้สัญลักษณ์ลิมิต
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | ลิมิต |
| approaches/əˈprəʊtʃɪz/ | เข้าใกล้ |
| one-sided limit/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | ลิมิตด้านเดียว |
| left-hand/left hænd/ | ด้านซ้าย |
| right-hand/raɪt hænd/ | ด้านขวา |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | ลิมิตสองด้าน |
กราฟกำลัง มุ่งไป ที่ไหน?
- ทิ้งจุดเดียวไว้ก่อน — ถามว่าcurve กำลัง มุ่งไป ที่ไหนเมื่อเราเลื่อน $x$ เข้าใกล้ค่าหนึ่ง
- ติดตาม $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $1$ แทนค่า $x=1$ จะได้ $\tfrac{0}{0}$ — หาค่าไม่ได้
- แต่ผลลัพธ์ยังคงเดินเข้าไปหา $2$ อย่างต่อเนื่อง: $f(0.9)=1.9$, $f(0.99)=1.99$, $f(1.01)=2.01$
- ฟังก์ชันมี รู ที่ $x=1$ แต่มันชัดเจนว่ากำลัง เล็ง ไปที่ $2$ ค่าเป้าหมายนี้คือ ลิมิต
สังเกตทิศทางที่เส้นโค้งมุ่งไป
y = ax² + bx + c
ลากสัมประสิทธิ์และเลือกค่าเข้า $c$ ในใจของคุณ — ลิมิต คือความสูงที่เส้นโค้ง เข้าใกล้ ใกล้กับ $c$ ไม่ใช่จุดนั้นเอง
เขียนสัญลักษณ์: สัญลักษณ์ลิมิต
- เราเขียน $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ อ่านว่า "ลิมิตของ $f$ ของ $x$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $c$ เท่ากับ $L$"
- $c$ คืออินพุตที่เรา creeping เข้าหา; $L$ คือเอาต์พุตที่ฟังก์ชันมุ่งไป
- สำคัญ的就是 $x \to c$ หมายความว่า "เข้าใกล้ $c$" — ไม่ pernah "เท่ากับ $c$" เราอยู่ห่างจากจุดนั้นเอง
- สำหรับตัวอย่างของเรา: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$ แม้ اینکه $f(1)$ จะไม่มีอยู่จริง
สัญลักษณ์ $\lim_{x \to c} f(x) = L$ หมายความว่า เมื่อ $x$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x \to c$ หมายความว่า $x$ เข้าใกล้ $c$ โดยไม่สัมผัส, และ $f(x)$ มุ่ง toward $L$
หาค่า $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แยกตัวประกอบ: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ สำหรับ $x\neq3$, ซึ่งมุ่ง toward $3+3=6$
มาจากซ้ายและขวา
- คุณสามารถเข้าหา $c$ ได้จากสองทิศทาง และแต่ละด้านจะมี ลิมิตด้านเดียว ของมันเอง
- จากด้านล่าง ($x$ น้อยกว่า $c$ เล็กน้อย): ลิมิตจากซ้าย (left-hand limit), $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$
- จากด้านบน ($x$ มากกว่า $c$ เล็กน้อย): ลิมิตจากขวา (right-hand limit), $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$
- สัญลักษณ์ $-$ และ $+$ ขนาดเล็กวางอยู่ด้านบนของ $c$ เพื่อแสดงทิศทางของการเคลื่อนที่
นิพจน์ใดเป็น ลิมิตจากขวา ของ $f$ ที่ $c$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เลขชี้กำลัง $+$ บน $c$ หมายความว่า $x$ เข้ามาหาจาก ด้านบน — ด้านขวา
ด้านทั้งสองต้องตกลงกัน
- ลิมิตแบบสองด้าน $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ จะเกิด ได้ก็ต่อเมื่อ ลิมิตแบบทางซ้ายและทางขวา.exists และมีค่าเท่ากัน เท่านั้น
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- หากด้านซ้ายมุ่งสู่ค่าหนึ่ง และด้านอื่นมุ่งสู่อีกค่าหนึ่ง ลิมิตแบบสองด้าน จะไม่มีอยู่ (DNE)
ลิมิตสองด้านที่ $c$ จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อลิมิตจากซ้ายและลิมิตจากขวามีอยู่ทั้งสองอย่างและ ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตจากสองด้านต้อง ตรงกัน ที่ค่าเดียว $L$
เลือก ทุก สถานการณ์ที่ $\lim_{x\to c} f(x)$ ไม่ มีอยู่
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตล้มเหลวเมื่อด้านไม่ตรงกัน, ค่าไม่จำกัด, หรือแกว่ง การไม่ตรงกันกับ $f(c)$ เพียงอย่างเดียว ไม่ได้ ทำให้ลิมิตหายไป — มันแค่ทำให้ความต่อเนื่องขาดหาย
ลิมิตเป็นเรื่องของ การเดินทาง ไม่ใช่จุดหมายปลายทาง $\lim_{x \to c} f(x)$ อาจมีอยู่แม้ว่า $f(c)$ จะไม่นิยามไว้ และอาจ ต่าง จาก $f(c)$ เมื่อจุดถูกพล็อตไว้บนกราฟนอกเส้นโค้ง อย่าเพิ่งสรุปว่า $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — นั่นเป็นกรณีพิเศษ (ความต่อเนื่อง) ไม่ใช่กฎทั่วไป
หาก $f(c)$ ไม่สามารถหาค่าได้, แล้ว $\lim_{x \to c} f(x)$ จะไม่มีอยู่จริง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตเป็นเรื่องของการเข้าใกล้ ไม่ใช่จุดนั้น $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$ แม้ว่าจะ $f(1)$ ไม่สามารถหาค่าได้ก็ตาม
สำหรับฟังก์ชันแบบแยกส่วน $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ และ $\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$
- ด้านซ้ายมุ่งสู่ $3$; ด้านอื่นมุ่งสู่ $5$
- พวกเขา ไม่ตกลงกัน ดังนั้น $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ ไม่มีอยู่ — กราฟกระโดดที่ $x=2$
- สิ่งนี้เป็นจริงไม่ว่าจะมีค่าใด (หรือไม่มีเลย) ที่ถูกพล็อตไว้ที่ $x=2$ ก็ตาม
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ บอกว่า $f(x)$ มุ่งเข้าสู่ $L$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $c$ จาก ทั้งสอง ด้าน — โดยไม่ต้องสัมผัสกับ $c$ เลย ลิมิตแบบสองด้านจะมีอยู่ ก็ต่อเมื่อ ลิมิตแบบทางซ้ายและทางขวา.exists และมีค่า เท่ากัน ลิมิตอธิบายว่าฟังก์ชันกำลัง ไปไหน ซึ่งไม่จำเป็นต้องเท่ากับ $f(c)$