แนะนำแคลคูลัส: การเปลี่ยนแปลงสามารถเกิดขึ้นได้ในทันทีหรือไม่?
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย |
| slope/sləʊp/ | ความชัน |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | เส้น sécant |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | เส้นสัมผัส |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที |
| limit/ˈlɪmɪt/ | ลิมิต |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ |
ความเร็ว ณ ตอนนี้?
- หน้าปัดมาตรวัดความเร็วในรถของคุณอ่านค่า $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ ในทันทีเดียว
- แต่ความเร็วคือ ระยะทาง ÷ เวลา — และใน ทันที ไม่มีเวลาผ่านไปและไม่มีการเคลื่อนที่
- แล้วเราจะมีความเร็วในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งได้อย่างไร?
- การตอบคำถามนี้เป็นจุดเริ่มต้นของ แคลคูลัส
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
- ในช่วงเวลาหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงหาได้ง่าย: คือการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดหารด้วยเวลาที่ใช้
- นี่คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของฟังก์ชัน
- บนกราฟ มันคือ ความชัน ของเส้นตรงที่เชื่อมสองจุด — ซึ่งเรียกว่า เส้นตัด (secant line)
- ตัวอย่าง: จาก $x=1$ ถึง $x=3$ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยคือ $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$
ความชันของ เส้น sécante ระหว่างสองจุดบนเส้นโค้งให้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้น sécante เชื่อมสองจุด ดังนั้นความชันของมันคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ในช่วงนั้น
ดันจุดทั้งสองเข้าหากัน
- ตอนนี้ให้เลื่อนจุดที่สองเข้าใกล้จุดแรกมากขึ้นเรื่อยๆ
- เส้นตัดจะหมุนและเข้าใกล้การ สัมผัส กับโค้งที่จุดเดียว
- เส้นที่สัมผัสนั้นคือ เส้นสัมผัส (tangent line)
เมื่อจุดที่สองเลื่อนเข้าหาจุดแรก เส้น sécante จะเข้าใกล้กับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้น sécante หมุนจนสัมผัสกับเส้นโค้งพอดี — มันเข้าใกล้ เส้นสัมผัส
อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที
- ความชันของ เส้นสัมผัส คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ที่จุดนั้น
- นั่นแหละคือค่าที่หน้าปัดมาตรวัดความเร็วแสดง — อัตราที่จุดเวลาใดเวลาหนึ่งอย่างแม่นยำ
- สำหรับกราฟตำแหน่ง-เวลา มันคือความเร็วทันที (instantaneous velocity)
อัตราการเฉลี่ยหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงในทันที?
ตัดสินใจว่าปริมาณแต่ละค่าวัดในช่วงใดหรือ ณ จุดใดจุดหนึ่ง
ความชันของเส้นสัมผัสคืออัตราการเปลี่ยนแปลง ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นสัมผัส สัมผัสที่จุดเดียว ดังนั้นความชันของมันคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงในทันที ที่จุดนั้น
คุณไม่สามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีโดยการแทนค่าจุดเดียวได้ — นั้นจะได้ $\tfrac{0}{0}$ ซึ่งหาค่าไม่ได้ คุณต้องดูว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย เข้าใกล้ ค่าใดเมื่อช่วงเวลาเล็กลง
คุณสามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงในทันทีโดยการแทนค่าจุดเดียวลงในสูตรอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ซึ่งจะได้ $\tfrac{0}{0}$ ซึ่งไม่กำหนดค่า คุณต้องหาค่า ลิมิต เมื่อช่วงหดตัวเหลือศูนย์
คำว่า "เข้าใกล้" นี้คือลิมิต
- เราไม่ได้หารด้วยศูนย์จริงๆ; เราถามว่าความชัน เข้าใกล้ ค่าอะไร
- ค่านั้นคือ ลิมิต — ซึ่งเป็นแนวคิดหลักของแคลคูลัส
- ลิมิตของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย เมื่อช่วงเวลาเล็กลงสู่ศูนย์ เรียกว่า อนุพันธ์ (derivative)
- หน่วยแรกทั้งหน่วยของหลักสูตรนี้เกี่ยวกับการทำให้งานนี้มีความชัดเจน
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับ อนุพันธ์ ที่จุดหนึ่ง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์คือ ลิมิต ของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเมื่อช่วงหดตัว — ความชันของเส้นสัมผัส นั่นคืออัตราการเปลี่ยนแปลงในทันที
ความสูงของลูกบอลคือ $h(t) = 5t^2$ เมตร. ประมาณความเร็วของมันที่ $t=2$ วินาที
- อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจาก $t=2$ ถึง $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
- จาก $t=2$ ถึง $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
- ค่าต่างๆ เข้าใกล้ $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — ลิมิตนั้น คือ ความเร็วทันที
ความสูงของลูกบอลคือ $h(t)=5t^2$ เมตร. ประมาณความเร็วในทันทีที่ $t=2$ วินาที (ในหน่วย m/s).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อหดขนาดช่วง อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจะเข้าใกล้ $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — ลิมิตนี้คือความเร็วในทันที
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย = ความชันของ เส้นตัด ในช่วงเวลาหนึ่ง เล็กลงช่วงเวลานั้นให้เป็นศูนย์และเส้นตัดจะเข้าใกล้ เส้นสัมผัส ซึ่งมีความชันคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ค่าลิมิตนี้คือ อนุพันธ์