ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์: หมุนรอบแกน x หรือแกน y
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | แหวน |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | วิธีแหวน |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | รัศมีภายใน |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | รัศมีภายนอก |
ดิสก์ที่มีรูอยู่ในกลาง
- เมื่อหมุนพื้นที่ที่มี ช่องว่าง ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น แต่ละชิ้นส่วนจะไม่เป็นดิสก์ทึบ — มันจะเป็นวงแหวน
- วงแหวนนี้ (ดิสก์ที่มีรูทรงกลมเจาะออก) เรียกว่า วอชเชอร์ (washer)
- พื้นที่ของมันคือวงกลมใหญ่ลบด้วยวงกลมเล็ก: $\pi R^2-\pi r^2$
- การรวมผลวอชเชอร์เข้าด้วยกันคือ วิธีวอชเชอร์ (washer method)
วอชเชอร์ (แทนที่จะเป็นดิสก์) จะปรากฏเมื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ช่องว่างทำให้เกิดรู → วอชเชอร์
รัศมีนอกลบรัศมีใน
- วอชเชอร์แต่ละอันมี รัศมีนอก $R$ (ไปหาเส้นโค้งไกล) และมี รัศมีใน $r$ (ไปหาเส้นโค้งใกล้)
- พื้นที่ของมันคือ $\pi\big(R^2-r^2\big)$ ดังนั้น:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- หมุนรอบแกน $x$, $R$ และ $r$ คือระยะจากเส้นโค้งทั้งสองไปหาแกน
สองเส้นโค้งสร้างแหวน
y = ax² + bx
ระหว่าง $y=x$ และ $y=\sqrt x$ มีช่องว่างจากแกน — การหมุนทำให้ได้วอชเชอร์ที่มีรัศมีภายนอก $\sqrt x$, ภายใน $x$
ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
วงกลมใหญ่ลบวงกลมเล็ก: $\pi(R^2-r^2)$.
ในวอชเชอร์ $R$ คือความโค้ง ____ (ไปจนถึงเส้นโค้งภายนอก) และ $r$ เป็นความโค้งภายใน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ภายนอกไปยังเส้นโค้งไกล, ภายในไปยังเส้นโค้งใกล้
การระบุ $R$ และ $r$
- $R$ (นอก) มาจากเส้นโค้งที่ ห่าง จากแกนมากกว่า; $r$ (ใน) มาจากเส้นโค้งที่ ใกล้ เกว่า
- หมุนพื้นที่ระหว่าง $y=f(x)$ (บน) และ $y=g(x)$ (ล่าง) รอบแกน $x$: $R=f(x)$, $r=g(x)$
- รูเกิดขึ้นเพราะเส้นโค้งด้านล่างไม่ได้แตะกับแกน
- ยกกำลังสองรัศมีแต่ละตัว แยกกัน ก่อนทำการลบ
หมุนพื้นที่ระหว่าง $y=\sqrt x$ (ด้านบน) และ $y=x$ (ด้านล่าง) รอบแกน $x$, ความโค้งภายนอกคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นโค้งที่ห่างจากแกนที่สุด, $\sqrt x$, คือรัศมีภายนอก
ยกกำลังสองก่อน แล้วค่อยลบ
- พื้นที่คือ $\pi(R^2-r^2)$, ไม่ใช่ $\pi(R-r)^2$ — ยกกำลังสองรัศมีแต่ละตัวก่อนจะนำไปลบ
- $(R-r)^2$ จะนำพจน์ไขว้มาใส่โดยไม่จำเป็นและให้ปริมาตรผิด
- ดังนั้น คำนวณ $R^2$ และ $r^2$ แยกกัน, ลบกัน, แล้วอินทิเกรตและคูณด้วย $\pi$
- นี่คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของวิธีวอชเชอร์
ตัวประกอบอินทิเกรตแบบวอชเชอร์ $R^2-r^2$ เหมือนกับ $(R-r)^2$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ยกกำลังสองความโค้งก่อน; การทำ $(R-r)^2$ ผิด
สำหรับ $R=\sqrt x$, $r=x$ บน $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
ตัวถูกอินทิเกรตของวอชเชอร์คือ $R^2-r^2$, ไม่ใช่ $(R-r)^2$ — ยกกำลังสองรัศมี ก่อน ทำการลบ. และรักษา $R$ (นอก, ไปหาเส้นไกล) ให้ต่างจาก $r$ (ใน, ไปหาเส้นใกล้); การสลับตำแหน่งหรือการใช้ $(R-r)^2$都会导致错误的体积. วอชเชอร์จะปรากฏก็ต่อเมื่อมี ช่องว่าง แยกพื้นที่ออกจากแกนเท่านั้น
หมุนพื้นที่ระหว่าง $y=x$ (ล่าง) และ $y=\sqrt x$ (บน) บน $[0,1]$ รอบแกน $x$
- รัศมีนอก $R=\sqrt x$, รัศมีใน $r=x$ (บน $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$)
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
วิธี วอชเชอร์ หมุนพื้นที่ที่มีช่องว่างให้เป็นวงแหวน: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, โดยที่ $R$ เป็น รัศมีนอก (เส้นไกล) และ $r$ เป็น รัศมีใน (เส้นใกล้). ยกกำลังสองรัศมีแต่ละตัวก่อนลบ — $R^2-r^2$, ห้ามใช้ $(R-r)^2$