ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์: หมุนรอบแกนอื่นๆ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | ภายนอก |
| inner/ˈɪnə/ | ภายใน |
วอชเชอร์รอบเส้นที่เลื่อนตำแหน่ง
- ส่วนสุดท้าย: หมุนพื้นที่สองเส้นรอบเส้นที่ไม่ใช่แกน $x$-หรือ $y$-
- รวมแนวคิดที่คุณเพิ่งเรียนรู้เข้าด้วยกัน: วอชเชอร์ (ช่องว่าง → วงแหวน) กับ แกนที่เลื่อน (ปรับรัศมี)
- สูตรคงเป็น $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; มีแต่ $R$ และ $r$ ที่ต้องวัดระยะใหม่ไปยังเส้นใหม่
- ได้ระยะทั้งสองถูกต้อง การคำนวณเชิงอนุพันธ์ก็จะง่ายเข้า
รัศมีทั้งสองวัดไปยังแกนใหม่
- สำหรับแกนแนวนอน $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ และ $r=|\text{near curve}-k|$
- รัศมีแต่ละตัวคือระยะจาก เส้น ของมันเองไปยัง เส้น ที่ เลื่อน, ไม่ใช่ไปหา $y=0$
- รัศมีนอก จะลากไปหาเส้นที่ห่างจากแกน; รัศมีใน ไปหาเส้นที่ใกล้กว่า
- จากนั้น $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ ตามปกติ
สองเส้นcurve เหนือแกนที่ถูกเลื่อน
y = ax² + bx
หมุนรอบ $y=-1$, ทั้งสองความโค้งเพิ่มขึ้น $1$ —的外部 $\sqrt x+1$,内部 $x+1$; ยังคง $R^2-r^2$
การหมุนพื้นที่ระหว่าง $y=\sqrt x$ และ $y=x$ รอบ $y=-1$, รัศมีภายนอกและภายในคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เลื่อน ทั้งสองอย่าง รัศมีลง $+1$ ไปยัง $y=-1$
สำหรับแกนที่ถูกเลื่อน, คุณต้องวัดใหม่ ______ รัศมี (ภายนอกและภายใน) ไปยังเส้นตรงใหม่
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เลื่อนทั้งสอง, ไม่ใช่แค่ตัวเดียว
ระวังว่าเส้นไหนจะอยู่ไกลขึ้นตอนนี้
- การเลื่อนแกนอาจ สลับ ว่าเส้นไหนเป็นนอกหรือใน — ตรวจสอบอีกครั้งหลังย้ายเส้น
- หมุนรอบเส้น ต่ำกว่า พื้นที่: เส้นโค้งด้านล่างจะเป็น ด้านใน (ใกล้แกนหมุนมากขึ้น)
- หมุนรอบเส้น สูงกว่า พื้นที่: บทบาทจะสลับกัน
- ต้องระบุ outer/inner เทียบกับแกนหมุนจริงเสมอ
หลังจากเลื่อนแกน, คุณควร...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตำแหน่งแกนสามารถสลับบทบาทภายนอก/ภายในได้
ยังไงก็ตาม: สกอร์กำลังสองของรัศมีก่อน
- เหมือนกับวอชเชอร์ทั่วไป ให้ลบ $R^2-r^2$ — สกอร์กำลังสองของรัศมี (ที่ปรับแล้ว) ก่อน การลบออก
- ห้าม $(R-r)^2$ และห้ามใช้รัศมีจากแกนธรรมดาซ้ำ
- วาดเส้นระยะห่างสองเส้นจากแกนไปยังแต่ละเส้นโค้งเพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ
- จากนั้นอินทิเกรตตามตัวแปรที่เหมาะสม
แม้รอบแกนที่ถูกเลื่อน, ตัวถูกอินทิเกรตของวอชเชอร์คือ $R^2-r^2$, ไม่ใช่ $(R-r)^2$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ยกกำลังสองรัศมีแต่ละตัวก่อนลบเสมอ
ปริมาตรสำหรับ $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ บน $[0,1]$ รอบ $y=-1$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
วิธีวอชเชอร์ที่ถูกเลื่อนรวมแนวคิดใดสองอย่าง?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
วอชเชอร์ (ช่องว่าง → แหวน) บวกด้วยรัศมีที่เลื่อนตำแหน่ง
ข้อผิดพลาดที่รวมกันอยู่ที่นี่: (1) ปรับรัศมีทั้งสอง ไปยังแกนใหม่ (ไม่ใช่แค่หนึ่งเส้น) และ (2) ยังคงใช้ $R^2-r^2$, ไม่ใช่ $(R-r)^2$. หลังการปรับแล้ว ตรวจสอบอีกครั้งว่าเส้นโค้งใดเป็น outer — ตำแหน่งของแกนอาจทำให้บทบาทสลับได้ วาดเส้นรัศมีทั้งสองไปยังเส้นจริงก่อนสกอร์กำลังสอง
หมุนพื้นที่ระหว่าง $y=\sqrt x$ (ด้านบน) และ $y=x$ (ด้านล่าง) บน $[0,1]$ รอบเส้น $y=-1$
- ปรับรัศมีทั้งสองลงไปที่ $y=-1$: outer เป็น $R=\sqrt x+1$, inner เป็น $r=x+1$
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
วิธีวอชเชอร์ รอบแกนที่เลื่อนตำแหน่ง: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, แต่ต้องวัดใหม่ ทั้งสอง outer และ inner รัศมีไปยังเส้นนั้น (เช่น เพิ่มค่าการเลื่อนสำหรับ $y=k$ ด้านล่างพื้นที่) ตรวจสอบอีกครั้งว่าเส้นโค้งใดเป็น outer, และสกอร์กำลังสองแต่ละรัศมี ก่อน การลบ — ห้าม $(R-r)^2$