ปริมาตรด้วยวิธีดิสก์: หมุนรอบแกนอื่นๆ
แนะนำใหม่หมุนรอบเส้นที่เลื่อนตำแหน่ง
- ถ้าคุณหมุนพื้นที่ไม่รอบแกน แต่รอบเส้นอย่างเช่น $y=-1$ หรือ $x=3$?
- วิธีดิสก์ยังใช้ได้ — คุณแค่วัด รัศมี จากเส้นโค้งไปยัง แกน ที่ เลื่อน นั้นแทน
- สูตร $V=\pi\int R^2$ ไม่เปลี่ยน; มีแต่ $R$ ที่ต้องปรับค่าเท่านั้น
- การได้รัศมีที่ถูกต้องคือหัวใจของทั้งหมดเลย
รัศมี = ระยะถึงแกนใหม่
- หมุนรอบเส้นแนวนอน $y=k$: รัศมีคือช่องว่างแนวตั้ง $R=|f(x)-k|$
- หมุนรอบเส้นแนวตั้ง $x=k$: รัศมีคือช่องว่างแนวนอน $R=|g(y)-k|$
- นำค่าแกนลบออกจากค่าเส้นโค้ง (ในตัวแปรที่ถูกต้อง) เพื่อหาระยะทาง
- จากนั้นยกกำลังสอง, คูณด้วย $\pi$ และอินทิเกรตตามปกติ
เส้นโค้งเหนือแกนที่ถูกเลื่อน
y = a·√x
การหมุนรอบ $y=-1$ ทำให้รัศมีExtend จากเส้นโค้งลงมายังเส้นตรงนั้น — $R=f(x)+1$, ใหญ่กว่า $f(x)$.
การหมุน $y=f(x)$ รอบเส้นตรง $y=-1$, รัศมีคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ระยะจาก $f(x)$ ลงมาถึง $y=-1$ คือ $f(x)-(-1)=f(x)+1$.
หมุนรอบ $y=k$ (ใต้พื้นที่), ความโค้งของ $f(x)$ คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าเส้นโค้งลบค่าแกน: $f(x)-k$.
การหมุนรอบเส้นตั้งฉาก $x=k$, รัศมีคือ ______ ระยะทาง $|g(y)-k|$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สำหรับแกนตั้งฉาก, วัดระยะทางแนวนอน
แกนอยู่ใต้พื้นที่
- หากแกน $y=k$ อยู่ ใต้ พื้นที่ เส้นโค้งจะอยู่เหนือมัน ดังนั้น $R=f(x)-k$ จึงเป็นช่องว่างที่มีค่าบวก
- ตัวอย่าง: หมุนรอบ $y=-1$ โดยเส้นโค้งมีความสูง $f(x)$ จะได้รัศมี $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$
- "$+1$" คือระยะเพิ่มเติมลงไปถึงแกนที่เลื่อนตำแหน่ง
- ต้องวาดเสมอ: รัศมีจะลากจากเส้นโค้ง ไปหา แกน
ถ้าแกน $y=3$ อยู่ เหนือ พื้นที่ (เส้นโค้ง $f(x)<3$), รัศมีคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ระยะคือ แกนลบเส้นโค้ง: $3-f(x)$ (ช่องว่างที่เป็นบวก)
อย่าใช้รัศมีแกนธรรมดาซ้ำ
- ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการลืมเลื่อน: ใช้ $R=f(x)$ ทั้งที่แกนอยู่ที่ $y=-1$
- นั่นจะทำให้คำนวณรัศมีน้อยเกินไปตามจำนวนการเลื่อน ส่งผลให้ปริมาตรผิด (เล็กเกินไป)
- เขียนรูปรัศมีใหม่เป็น (ค่าเส้นโค้ง) $-$ (ค่าแกน) ทุกครั้งที่แกนไม่ใช่ $y=0$ หรือ $x=0$
- การวาดภาพส่วนระยะช่วยป้องกันความผิดพลาดนี้ได้
เมื่อหมุนรอบ $y=-1$, คุณยังสามารถใช้รัศมี $R=f(x)$ ได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณต้องเลื่อน: $R=f(x)+1$.
การหมุน $y=\sqrt x$ บน $[0,4]$ รอบ $y=-1$ ให้รัศมี $\sqrt x+1$, ดังนั้น $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
สำหรับ แกนที่เลื่อนตำแหน่ง รัศมีคือระยะจากเส้นโค้งไปยัง เส้นนั้น เช่น $R=f(x)-k$ สำหรับ $y=k$ — ไม่ใช่ เฉพาะ $f(x)$. การหมุนรอบ $y=-1$ จะทำให้รัศมี ใหญ่ขึ้น (บวก $1$); ส่วนรอบ $y=3$ ที่อยู่เหนือพื้นที่จะทำให้มัน $3-f(x)$. ต้องวัดระยะไปยังแกนที่ถูกต้องก่อนยกกำลังสองเสมอ
หมุนพื้นที่ ระหว่าง $y=\sqrt x$ และเส้น $y=-1$ บน $[0,4]$ รอบ $y=-1$. (พื้นที่ครอบคลุมถึงแกน ทำให้แต่ละชิ้นส่วนสร้างดิสก์ทึบ — ไม่มีรู)
- รัศมีลากจากเส้นโค้งลงมาที่ $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
วิธี ดิสก์ รอบแกนที่เลื่อนตำแหน่งยังคงใช้ $V=\pi\int R^2$ ไว้ แต่ รัศมี คือระยะจากเส้นโค้งไปยังเส้นนั้น: $R=f(x)-k$ สำหรับ $y=k$ หรือ $g(y)-k$ สำหรับ $x=k$. ปรับ $R$ ตามการเลื่อน (แกนที่อยู่ใต้พื้นที่จะ เพิ่ม เข้าไปในรัศมี); อย่าใช้รัศมีแกนธรรมดาซ้ำอีก