การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งที่แสดงในรูปฟังก์ชันของ y
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | การตัดขวางแนวนอน |
หั่นแบบแนวนอนแทนแนวตั้ง
- บางบริเวณใช้แถบแนวตั้งไม่สะดวก เช่น พาราโบลาที่เปิดด้านข้าง
- วิธีแก้: หั่นเป็น แถบแนวนอน และอินทิเกรตเทียบกับ $y$ แทน $x$
- ทุกอย่างจากบทเรียนก่อนหน้าหมุนไป 90°: เส้นโค้งกลายเป็นฟังก์ชันของ $y$ และคุณนำขวาลบซ้ายออก
- แนวคิดเดิมแต่หมุนมุม: บวกความกว้างช่องว่างแนวแนวนอนเข้าด้วยกัน
ขวาลบซ้าย
- เขียนขอบเขตเป็นฟังก์ชันของ $y$: $x=f(y)$ (ขวาสุด) และ $x=g(y)$ (ซ้ายสุด)
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- แต่ละ หั่นแนวนอน มีความกว้าง $f(y)-g(y)$ และความสูง $dy$
- นำ ขวาสุดลบซ้ายสุด เพื่อให้ความกว้างคงเป็นบวก
พาราโบลาเปิดด้านข้าง
y = ax² + bx + c
เมื่อเส้นโค้งเปิดด้านข้าง การตัดแนวนอน (ขวา ลบ ซ้าย, อินทิกรัลตาม $y$) เป็นทางเลือกที่ชัดเจนที่สุด
ด้วยการตัดแนวนอน พื้นที่คือ $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ ที่...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แถบแนวนอน: เส้นโค้งขวา ลบ เส้นโค้งซ้าย
ขอบเขต现在是$y$-values
- ขอบเขต $c$ และ $d$ คือ ค่า $y$ ต่ำสุดและสูงสุด ของพื้นที่ tersebut — มักจะเป็นค่า $y$ ที่เส้นโค้งตัดกัน
- แก้ $f(y)=g(y)$ (ในเทอม $y$) เพื่อหาขอบเขตเหล่านี้
- ระหว่างนั้น ทดสอบว่าเส้นโค้งเส้นไหนอยู่ทางขวาไกลกว่า
- จากนั้นอินทิเกรตความกว้างขวาลบซ้ายจาก $c$ ถึง $d$
สำหรับอินทิกรัล $dy$, ขอบเขตการอินทิกรัลคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การอินทิกรัลตาม $y$ หมายความว่าขอบเขตคือ $y$
$x=y^2$ และ $x=y+2$ ตัดกันที่ไหน (ใน $y$)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
เมื่อไหร่ควรเลือก $dy$ แทน $dx$
- เลือก หั่นแนวนอน เมื่อเส้นโค้งเป็น $x=$(ฟังก์ชันของ $y$) secaraธรรมชาติ หรือเมื่อหั่นแนวตั้งต้องแบ่งหลายช่วง
- บริเวณที่ถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งต่างกันทางซ้ายและขวา (แต่บน/ล่างเป็นจุดเดียว) เป็นสถานการณ์ $dy$
- หาก "เส้นบน" จะเปลี่ยนกึ่งกลางเมื่อใช้หั่นแนวตั้ง การหั่นแนวนอนอาจหลีกเลี่ยงการแบ่งช่วงได้
- เลือกทิศทางใดที่ทำให้แต่ละแถบครอบคลุม หนึ่ง เส้นโค้งชัดเจนไปจนถึง หนึ่ง เส้นโค้งชัดเจน
พื้นที่ที่จำกัดด้วย $x=y^2$ และ $x=y+2$ คือ $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. คำนวณมัน (ทศนิยม)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
它有ค่าเท่ากับ $\tfrac92=4.5$
สำหรับการอินทิเกรตแบบตัด橫截面 (horizontal-slice) คุณควรเขียนขอบเขตแต่ละด้านในรูป $x$ ของตัวแปร $y$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แถบ-running แนวนอน, ดังนั้นแสดง $x$ เป็นฟังก์ชันของ $y$
การตัดแนวนอนเหมาะสมเมื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นโค้งด้านข้างเหมาะสำหรับการอินทิกรัล $dy$
ด้วยการหั่นแนวนอน คุณอินทิเกรต ขวาลบซ้าย ในเทอม $y$ และขอบเขตคือค่า $y$ (ไม่ใช่ค่า $x$) การสับสน将它们 — ใช้ขอบเขต $x$ กับอินทิกรัล $dy$, หรือลบบนลบล่างตามแนวนอน — จะได้คำตอบผิด ต้องเขียนเส้นโค้งขอบเขตทุกเส้นเป็น $x$ เทอม $y$ ก่อน
หาพื้นที่ที่ล้อมรอบโดย $x=y^2$ และ $x=y+2$
- จุดตัด (ในเทอม $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$
- บน $(-1,2)$ เส้นตรง $x=y+2$ อยู่ทางขวาไกลกว่า (ทดสอบ $y=0$: $2>0$)
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
สำหรับเส้นโค้งที่กำหนดเป็นฟังก์ชันของ $y$ ให้ใช้ หั่นแนวนอน: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, อินทิเกรต ขวาสุดลบซ้ายสุด ด้วยขอบเขต $y$ จากจุดตัด เลือก $dy$ เมื่อมันช่วยให้แต่ละแถบวิ่งผ่านเส้นโค้งหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งได้อย่างต่อเนื่องโดยไม่มีการแบ่งช่วง