การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งที่ตัดกันมากกว่าสองจุด
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | ช่วงย่อย |
เมื่อเส้นโค้งตัดกันซ้ำๆ
- บางครั้งเส้นโค้งสองเส้นตัดกัน มากกว่าสองครั้ง และ "เส้นบน" เปลี่ยนตำแหน่งตลอดเส้นทาง
- อินทิกรัลบนลบล่างเพียงตัวเดียวจะได้อันตรภาคที่มีเครื่องหมายผิด的部分ของบริเวณ
- วิธีแก้: แบ่ง บริเวณที่จุดตัดแต่ละจุดแล้วอินทิเกรตแต่ละส่วนแยกต่างหาก
- บวกพื้นที่ (ที่เป็นบวก) ของแต่ละส่วนเพื่อหาผลรวมทั้งหมด
หาทุกจุดตัดให้หมดก่อน
- แก้ $f(x)=g(x)$ ให้สมบูรณ์ — หา ทุก จุดตัดบนช่วง ไม่ใช่แค่สองจุดภายนอก
- จุดตัดเหล่านี้คือขอบเขตของ ช่วงย่อย ที่ลำดับความสูงคงที่
- เรียงจากซ้ายไปขวาตามแกน $x$
- คู่จุดตัดที่อยู่ติดกันแต่ละคู่กรอบหนึ่งส่วนของบริเวณ
ฟังก์ชันลูกบาศก์ตัดเส้นตรง 3 ครั้ง
y = ax³ + bx
$y=x^3$ และ $y=x$ ตัดกันที่ $-1,0,1$; เส้นโค้งบนสลับที่ $0$, ดังนั้นพื้นที่ต้องแบ่งเป็นสองส่วน
$y=x^3$ และ $y=x$ ตัดกันที่ไหน?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
จุดตัดแบ่งพื้นที่ออกเป็น ____ ที่มีลำดับตายตัว
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ในแต่ละช่วงย่อย有一条曲线 consistently อยู่ด้านบน
แบ่งเมื่อเส้นบนและเส้นล่างสลับกัน
- ในช่วงย่อยแต่ละช่วง มีเส้นโค้งเส้นหนึ่งอยู่บนเส้นโค้งอีกเส้นหนึ่งอย่างต่อเนื่อง — ทดสอบจุดหนึ่งเพื่อดูว่าเส้นไหนอยู่ด้านบน
- ตั้งอินทิกรัลแยกต่างหากของ (บน $-$ ล่าง) สำหรับแต่ละช่วงย่อย โดยใช้เส้นบนที่ถูกต้องในช่วงนั้น
- เนื่องจากเส้นบน สลับ ระหว่างส่วนต่างๆ ฟังก์ชันภายในอินทิกรัลจึงแตกต่างกันในแต่ละส่วน
- พื้นที่ทั้งหมดคือผลรวมของอินทิกรัลแยกเหล่านั้น
คุณแบ่งพื้นที่ที่จุดตัดเพราะ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ที่เส้นโค้งสลับ, บางส่วนของพื้นที่จะถูกนับเป็นลบ
การใช้อินทิกรัลเดียวของ $f-g$ Across จุดตัดทั้งหมด (เส้นโค้งสลับ) ให้...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหักล้างเครื่องหมายทำให้ประเมินพื้นที่จริงต่ำเกินไป
บวกพื้นที่สัมบูรณ์
- อินทิกรัลของแต่ละช่วงย่อย ทำด้วย บนลบล่าง ที่ถูกต้อง จะเป็นบวกเสมอ
- บวกเข้าด้วยกัน: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$
- หรือเท่ากับ $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — ส่วนต่างสัมบูรณ์, อินทิเกรต
- ทั้งสองมุมมองให้พื้นที่เรขาคณิตรวมเดียวกัน
สำหรับ $y=x^3$ และ $y=x$ บน $[-1,1]$, แต่ละส่วนมีพื้นที่ $\tfrac14$. หาพื้นที่รวม
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
การอินทิกรัล $|f(x)-g(x)|$ ตลอดช่วงให้พื้นที่รวมเท่ากับการแบ่ง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าสัมบูรณ์จัดการการสลับอัตโนมัติ
อย่าใช้อินทิกรัลตัวเดียวของ $f-g$ ครอบคลุมทุกจุดตัด — เมื่อเส้นโค้งสลับกัน บางส่วนของบริเวณจะ贡献ค่า ลบ และหักล้างพื้นที่จริง คุณต้อง แบ่งที่ทุกจุดตัด และนำบนลบล่างให้ถูกต้องในแต่ละส่วน (หรืออินทิเกรต $|f-g|$) หา ทุก จุดตัด ไม่ใช่แค่จุดปลาย
พื้นที่ระหว่าง $y=x^3$ และ $y=x$ บน $[-1,1]$
- จุดตัด: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — สาม จุด
- บน $(-1,0)$: $x^3>x$ (ทดสอบ $-0.5$) บน $(0,1)$: $x>x^3$ (ทดสอบ $0.5$) เส้นบนสลับกันที่ $0$
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
เมื่อเส้นโค้งตัดกัน มากกว่าสองครั้ง ให้หา ทุก จุดตัด, แบ่งบริเวณเป็น ช่วงย่อย, และอินทิเกรต บนลบล่าง ในแต่ละช่วง (เส้นบน สลับ ระหว่าง них) บวกแต่ละส่วนเข้าด้วยกัน — หรือเท่ากับอินทิเกรต $|f(x)-g(x)|$ การอินทิเกรต $f-g$ ตัวเดียวจะหักล้างพื้นที่ผิดพลาด