อนุพันธ์ของ cos x, sin x, eˣ และ ln x
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | ฟังก์ชันเลขยกกำลัง |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | ลอการิทึม |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | ผลต่างพื้นฐาน |
สี่ดิฟเฟอเรนเชียลที่ต้องจำให้ขึ้นใจ
- กฎเลขชี้กำลังหยุดอยู่ที่เลขชี้กำลังของ $x$ ข้างบนคือ ฟังก์ชันพื้นฐาน
- สี่ฟังก์ชันนี้ปรากฏบ่อยมาก ดังนั้นดิฟเฟอเรนเชียลของมันจึงควรจดจำได้แม่นยำ
- พวกมันคือ $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, และ $\ln x$
- จดจำสี่อันนี้ และร่วมกับกฎก่อนหน้า สามารถดิฟนิยามหลากหลายขนาดใหญ่ได้
คู่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — ระวังเครื่องหมาย ลบ
- วิธีเช็คที่มีประโยชน์: ความชันของ $\sin x$ ที่ $0$ คือ $1$ (การเพิ่มขึ้นที่ชันที่สุด) และ $\cos 0=1$ ✓
- (สิ่งเหล่านี้ต้องใช้ $x$ ในหน่วย เรเดียน — สูตรที่เรียบง่ายมีผลเฉพาะในที่นี้)
ความชันของ sine คือ cosine
เมื่อ $\sin x$ มีความชันมากที่สุด (ที่ $0$) ความชันของมันคือ $1$ — พอดีกับ $\cos 0$. อนุพันธ์ของ $\sin$ คือ $\cos$
ค่าของ $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (ระวังเครื่องหมาย)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ของ cosine คือ $-\sin x$
The exponential and the logarithm
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นดิฟเฟอเรนเชียลของตัวเอง ความชันเท่ากับค่าสูงเสมอ
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — ดิฟเฟอเรนเชียลของ ลอการิทึม, ใช้ได้สำหรับ $x>0$
- $e^x$ เป็นฟังก์ชันเดียวที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การดิฟ
- $\ln x$ เปลี่ยนเป็นผล역ตรงกันข้ามอย่างง่าย $\tfrac1x$ — ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่สะอาดunexpectedly
$e^x$ เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — เป็น独一无二的ในหมู่ฟังก์ชัน
$\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ คืออะไร (สำหรับ $x>0$)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
ผสมกับกฎการรวม
- อนุพันธ์พื้นฐาน เหล่านี้สามารถนำไปใช้โดยตรงในกฎผลบวก ผลต่าง และค่าคงที่คูณ
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- หาอนุพันธ์ของแต่ละพจน์ด้วยกฎของตัวเอง แล้วรวมเข้าด้วยกัน — ไม่มีอะไรใหม่ที่ต้องเรียนนอกจากข้อเท็จจริงสี่ข้อ
ดิฟ $3\sin x-2e^x$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$3\cos x$ และ $e^x$ คงอยู่เป็น $e^x$: $3\cos x-2e^x$
เลือก ทั้งหมด อนุพันธ์พื้นฐานที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ข้อสุดท้ายผิด — ควรเป็น $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, ไม่ใช่ $x$
ระวังเครื่องหมายและโดเมน $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (เครื่องหมายลบคือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด) $e^x$ เป็น อนุพันธ์ของตัวมันเอง — อย่าใช้กฎกำลังกับมัน และ $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ มีผลเฉพาะเมื่อ $x>0$ ซึ่งคือโดเมนของ $\ln$
ดิฟ $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
จำอนุพันธ์พื้นฐานสี่ชนิด: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$它们与和/差/常数倍规则结合，可对混合表达式求导。注意 $\cos$ 上的减号，保持 $x$ 使用弧度制，并记住 $e^x$ 是其自身的导数。