กฎผลคูณ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | กฎผลคูณ |
Why products need their own rule
- ดึงดูดแต่ผิด: อนุพันธ์ของผลคูณ ไม่ใช่ ผลคูณของอนุพันธ์
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ แต่ $f'g'=1\cdot1=1$—they disagree.
- ผลคูณมีเครื่องมือเป็นของตัวเอง: กฎผลคูณ
- มันพิจารณาว่า ทั้งสอง ตัวประกอบเปลี่ยนไปพร้อมกัน
อนุพันธ์ของ $f\cdot g$ เท่ากับ $f'\cdot g'$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันคือ $f'g+fg'$, ไม่ใช่ $f'g'$
กฎ
- สำหรับผลคูณของฟังก์ชันสองตัว:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- เป็นคำพูด: "อนุพันธ์ของตัวแรกคูณด้วยตัวที่สอง บวก กับตัวแรกคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวที่สอง"
- แต่ละพจน์หาอนุพันธ์ ตัวประกอบหนึ่ง และทิ้งอีกตัวไว้; แล้วคุณจึงนำมารวมกัน
กฎผลคูณระบุว่า $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ของตัวแรก คูณด้วยตัวที่สอง บวกด้วย ตัวแรก คูณด้วยอนุพันธ์ของตัวที่สอง
รูปแบบตัวอย่างที่ชัดเจน
- หาอนุพันธ์ $y=x^2\,e^x$ ให้ $f=x^2$ และ $g=e^x$
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- แยกตัวร่วมหากต้องการ: $y'=x e^x(2+x)$
ความชันที่เปลี่ยนแปลงของผลคูณ
y = ax² + bx
ผลคูณอย่าง $x^2 e^x$ มีความชันที่ผสมผสานทั้งสองปัจจัย — กฎผลคูณจับการเปลี่ยนแปลงของทั้งสองพร้อมกันได้
ดิฟ $y=x^2 e^x$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
สำหรับ $y=x\sin x$, ใช้กฎผลคูณเพื่อหา $y'$ ที่ $x=0$. (จำไว้ว่า $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=\sin x+x\cos x$; ที่ $0$: $0+0\cdot1=0$
เมื่อคุณจำเป็นต้องใช้มันจริงๆ
- หากผลคูณ สามารถ คูณออกได้ก่อน ให้ทำ那样 — อาจจะง่ายขึ้น ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$)
- แต่เมื่อตัวประกอบไม่สามารถลดรูปได้ (เช่น $x^2\sin x$ หรือ $e^x\ln x$), กฎ จึงจำเป็น
- รวม它与กับกฎกำลังและอนุพันธ์พื้นฐานของแต่ละตัวประกอบได้อย่างอิสระ
- ตั้งป้ายชื่อ $f,f',g,g'$ ก่อน — การบันทึกข้อมูลที่เป็นระเบียบช่วยป้องกันความผิดพลาด
สำหรับ $y=x^2\cdot x^3$, ขั้นตอนแรกที่ดีที่สุดคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การจัดรูปให้เป็น $x^5$ ก่อนนั้นง่ายกว่า: $5x^4$. ใช้กฎผลคูณก็ต่อเมื่อปัจจัยไม่สามารถรวมกันได้เท่านั้น
ในแต่ละพจน์ของกฎผลคูณ, ข้อใด ถูก?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ปัจจัยหนึ่งต่อพจน์ถูกหาอนุพันธ์; พจน์ทั้งสองถูกนำมารวมกัน การหาอนุพันธ์ทั้งสองในพจน์เดียวเป็นข้อผิดพลาดคลาสสิก
กฎผลคูณคือ $f'g+fg'$, ไม่ใช่ $f'g'$ ทั้งสองพจน์จำเป็น และแต่ละพจน์รักษาสองตัวประกอบ อื่น ไว้โดยไม่หาอนุพันธ์ ความผิดพลาดที่พบบ่อยมากคือการหาอนุพันธ์ของทั้งสองตัวประกอบในพจน์เดียวกัน — อย่าทำ那样 พอดีหนึ่งตัวประกอบเท่านั้นที่ถูกหาอนุพันธ์ในแต่ละพจน์
ดิฟ $y=(3x^2)(\sin x)$
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- ไม่มีตัวประกอบใดที่สามารถลดรูปออกไปได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้กฎผลคูณ
กฎผลคูณ (Product Rule): $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — หาอนุพันธ์ของแต่ละตัวประกอบทีละตัวแล้วบวกกัน ใช้เมื่อผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ไม่สามารถจัดรูปให้ง่ายขึ้นก่อนหน้าได้ มัน ไม่ใช่ $f'g'$; แต่ละพจน์จะหาอนุพันธ์เพียงตัวประกอบเดียวเท่านั้น