การเชื่อมโยงความสามารถในการหาอนุพันธ์และความต่อเนื่อง: เมื่ออนุพันธ์มีหรือไม่มีอยู่จริง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| differentiability/ˌdɪfəˌrenʃɪəˈbɪlɪti/ | การหาอนุพันธ์ได้ |
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | ต่อเนื่อง |
| corner/ˈkɔːnə/ | มุมแหลม |
| cusp/kʌsp/ | จุดยอดคม |
| vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/ | เส้นสัมผัสแนวตั้ง |
เรียบเนียน implies เชื่อมต่อ — แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน
- ถ้าฟังก์ชันมีอนุพันธ์ที่จุดหนึ่ง, กราฟของมันไม่เพียงแต่ไม่ขาดที่นั่น — มัน เรียบ
- ความสามารถในการหาอนุพันธ์ ที่จุดหนึ่งเป็นเงื่อนไขที่ เข้มงวดกว่า การต่อเนื่อง
- ข้อเท็จจริงสำคัญ: หาอนุพันธ์ได้ $\Rightarrow$ ต่อเนื่อง เส้นสัมผัสไม่สามารถมีอยู่ได้ที่จุดขาด
- แต่ทางกลับล้มเหลว: กราฟที่ต่อเนื่องอาจยังมีจุดแหลมที่ไม่มีอนุพันธ์
เส้นโค้งที่เรียบและสามารถหาอนุพันธ์ได้
y = ax² + bx
พาราโบลานี้เรียบทุกที่ — มีเส้นสัมผัสที่ทุกจุด, tráiกับมุมแหลมที่มีความชันกระโดด
ทำไมการหาอนุพันธ์ได้บังคับให้ต่อเนื่อง
- อนุพันธ์คือลิมิตของความชันเส้นประ; เพื่อให้อัตราส่วนลิมิตนี้มีค่าจำกัด, ฟังก์ชันไม่สามารถกระโดด
- ถ้า $f$ กระโดดที่ $c$, ความชันเส้นประใกล้ $c$ จะพุ่งขึ้น — ไม่มีความชันเส้นสัมผัสที่มีค่าจำกัด
- ดังนั้นการมี $f'(c)$ รับประกัน $f$ เป็น ต่อเนื่อง ที่ $c$
- Contrapositive (有用ในสอบ): ถ้า $f$ ไม่ ต่อเนื่องที่ $c$, มัน ไม่ หาอนุพันธ์ได้ที่นี่
ข้อสรุป nào ถูกต้อง?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหาอนุพันธ์ได้บังคับให้ต่อเนื่อง; การกลับกันไม่เป็นจริง
ถ้า $f$ ไม่ ต่อเนื่องที่ $c$, แล้ว $f$ ที่ $c$ จะ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทฤษฎีบท contrapositive ของ "หาอนุพันธ์ได้ $\Rightarrow$ ต่อเนื่อง": ไม่ต่อเนื่อง $\Rightarrow$ หาอนุพันธ์ไม่ได้
的地方 where the derivative fails to exist
- ความต่อเนื่องไม่พอ — สามรูปร่างทำลายความสามารถในการหาอนุพันธ์แม้ว่าจะไม่มีช่องว่าง:
- มุม: ความชันซ้ายและขวาต่างกัน (เช่น $|x|$ ที่ $0$)
- ** cusps:** ความชันพุ่งไปที่ $+\infty$ และ $-\infty$ (เช่น $x^{2/3}$ ที่ $0$)
- เส้นสัมผัสแนวตั้ง: เส้นสัมผัสเป็นแนวตั้ง, ดังนั้นความชันไม่กำหนด (เช่น $\sqrt[3]{x}$ ที่ $0$)
ที่ ลักษณะ ใด อนุพันธ์จึงไม่สามารถมีอยู่ได้แม้ฟังก์ชันจะต่อเนื่อง?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
มุมแหลม, จุดยอดคม, และเส้นสัมผัสแนวตั้งทำให้อนุพันธ์หายไป; จุดเปลี่ยนที่เรียบยังคงมี $f'=0$ อยู่
ที่เส้นสัมผัสแบบ ____ เส้นสัมผัสจะเป็นแนวตั้ง ดังนั้นความชัน (คืออนุพันธ์) จึงกำหนดค่าไม่ได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นแนวตั้งมีความชันที่กำหนดค่าไม่ได้; เช่น $\sqrt[3]{x}$ ที่ $0$
ทั้งหมดกลับมาที่เส้นสัมผัส
- อนุพันธ์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อมี เส้นสัมผัสที่กำหนดอย่างชัดเจน有一条 finite slope
- มุมมีเส้นสัมผัสสองแบบต่าง; cusps/เส้นสัมผัสแนวตั้งมีความชันอนันต์ — ทั้งสองไม่ให้ค่าเดียวที่มีค่าจำกัด
- $|x|$ เป็นต่อเนื่องทุกที่แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่ $0$ — ตัวอย่าง反驳คลาสสิก
- ดังนั้น: ตรวจสอบความต่อเนื่องก่อน (สิ่งจำเป็น) แล้วจึงตรวจสอบว่ามีความชันของเส้นสัมผัสเพียงค่าเดียวที่จำกัด (ส่วนที่เหลือ)
$f(x)=|x|$ ต่อเนื่องที่ $0$ แต่ไม่หาอนุพันธ์ได้ที่นั่น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มุมแหลมให้ความชันด้านซ้าย $-1$, ความชันด้านขวา $+1$ — ไม่มีความชันของเส้นสัมผัสเพียงค่าเดียว
สำหรับ $f(x)=|x|$, ความชันด้านขวา (สำหรับ $x>0$) ที่ $0$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สำหรับ $x>0$, $f(x)=x$, ดังนั้นความชันคือ $+1$ (ความชันด้านซ้ายคือ $-1$, จึงเกิดมุมแหลม)
อย่าสลับทิศทางของนัยยะ ดิฟференเทียเบิ้ล $\Rightarrow$ ต่อเนื่อง เป็นจริง แต่ ต่อเนื่อง $\Rightarrow$ ดิฟเฟอเรนเทียเบิล เป็น เท็จ $f(x)=|x|$ ยืนยันได้: ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ที่ $0$ แต่มุมทแยงทำให้ $f'(0)$ ไม่มีอยู่ (ความชันทางซ้าย $-1$, ความชันทางขวา $+1$)
ฟังก์ชัน $f(x)=|x|$ ดิฟференเทียเบิลที่ $x=0$ หรือไม่?
- ต่อเนื่องที่ $0$? ใช่ — ไม่มีการขาดหาย ✓
- ความชันทางซ้าย: สำหรับ $x<0$ และ $f(x)=-x$, ความชันคือ $-1$ ความชันทางขวา: สำหรับ $x>0$ และ $f(x)=x$, ความชันคือ $+1$
- ความชันทางด้านข้างไม่ตรงกัน ($-1\neq1$) — เกิดเป็น มุมทแยง
- ดังนั้น $f'(0)$ ไม่มีอยู่ แม้ว่าจะมีฟังก์ชัน $f$ ต่อเนื่องที่จุดนั้นก็ตาม
การดิฟференเทียเบิ้ล $\Rightarrow$ ความต่อเนื่อง (เส้นสัมผัสต้องการกราฟที่ไม่ขาดตอน) แต่ความต่อเนื่องไม่ได้บ่งบอกถึงการดิฟференเทียเบิล การดิฟเฟอเรนเชียลไม่มีอยู่ที่ มุมทแยง (ความชันไม่ตรงกัน), ยอดแหลม, หรือ เส้นสัมผัสแนวตั้ง (ความชันเป็นอนันต์) — ที่ทุกจุดที่ไม่มีเส้นสัมผัสแบบจำกัดและค่าเดียว