การใช้กฎเลขชี้กำลัง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | กำลัง |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | กฎของกำลัง |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | จำนวนเต็ม |
วิธีลัดแทนการหาลิมิต
- การคำนวณดิฟเฟอเรนเชียลจากนิยามลิมิตทั้งหมดช้าเกินไป มีรูปแบบหนึ่ง
- สำหรับเลขชี้กำลังของ $x$, กฎเดียวใช้ได้ทันที: กฎเลขชี้กำลัง
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "ยกเลขชี้ลงมาเป็นสัมประสิทธิ์ แล้วลบเลขชี้กำลังลงหนึ่ง"
เลขชี้กำลังและความชันของเส้นสัมผัสของมัน
y = x²
สำหรับ $y=x^2$ กฎเลขชี้กำลังให้ความชัน $2x$ — ขยับจุดและตรวจสอบว่าความชันของเส้นสัมผัสตรงกับ $2x$
ดูการทำงาน
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — $3$ ถูกย้ายไปข้างหน้า เลขชี้กำลังเปลี่ยนเป็น $3\to2$
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — ดิฟเฟอเรนเชียลของ $x$ คือ $1$
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- ตรงกับนิยามลิมิต (เราพบ $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) แต่ใช้เวลาแค่บรรทัดเดียว
ค่าของ $\dfrac{d}{dx}[x^5]$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดึง $5$ ลงมา, ลดเลขชี้กำลัง: $5x^{5-1}=5x^4$
หาก $f(x)=x^4$, จงหา $f'(2)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=4x^3$, ดังนั้น $f'(2)=4\cdot8=32$.
It works for any exponent
- $n$ อาจเป็นเลขชี้กำลัง ลบ หรือ เศษส่วน ไม่ใช่แค่เลขชี้กำลัง จำนวนเต็ม บวก
- แบบลบ: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$
- แบบเศษส่วน: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$
- กฎเดิมทุกครั้ง — ยกเลขชี้ $n$ ลงมา ลดเลขชี้กำลังลงหนึ่ง
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. เลขชี้กำลัง $\square$ คือ ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลด $-2$ ลงหนึ่ง: $-2-1=-3$
กฎเลขชี้กำลังหาอนุพันธ์ ของ ตัวใดต่อไปนี้โดยตรง (หลังจากรေးงใหม่)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งหมดเป็นเลขชี้กำลังของ $x$ หลังการ重写; $5^x$ เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ไม่ใช่เลขชี้กำลังของ $x$
เขียนใหม่ก่อน แล้วค่อยดิฟ
- รากและเศษส่วนซ่อนเลขชี้กำลัง — เขียนใหม่ให้อยู่ในรูป $x^n$ ก่อนใช้กฎ
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$ ดังนั้น $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$ ดังนั้น $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$
- การแปลงพจน์ทุกอย่างให้เป็น เลขชี้กำลัง คือขั้นตอนเตรียมตัวที่สำคัญ
เขียนใหม่และหาอนุพันธ์: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ เท่ากับ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
กฎกำลังใช้ได้กับ $2^x$ ซึ่งให้ผลลัพธ์ $x\cdot 2^{x-1}$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎเลขชี้กำลังต้องการฐานที่เป็นตัวแปรพร้อมเลขชี้กำลังคงที่; $2^x$ เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล (ในบทเรียนถัดไป)
กฎเลขชี้กำลังใช้สำหรับ ฐานแปรผันที่มีเลขชี้คงที่ ($x^n$) ไม่ได้ใช้กับฐานคงที่มีเลขชี้แปรผัน — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$ (นี่คือฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ซึ่งจะเรียนในบทถัดไป) และอย่าลืมลดเลขชี้กำลัง: ต้องได้ $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$ ไม่ใช่ $-2x^{-2}$
ดิฟ $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$
- เขียนใหม่เป็นเลขชี้กำลัง: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$
- ใช้กฎเลขชี้กำลังทีละพจน์: $\tfrac23 x^{-1/3}$ และ $-1\cdot x^{-2}$
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
กฎเลขชี้กำลัง $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ ใช้ได้กับ เลขชี้คงที่ 任何形式的 — จำนวนเต็ม, ลบ, หรือเศษส่วน เขียนรากและเศษส่วนใหม่ให้เป็น เลขชี้กำลัง ก่อน แล้วยกเลขชี้ลงและลดลงหนึ่ง แทนนิยามลิมิตสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง