การประมาณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | ค่าประมาณ |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | อัตราส่วนผลต่าง |
วัดความชันที่คำนวณค่าแน่นอนไม่ได้
- บางครั้งคุณมี กราฟ หรือ ตาราง, ไม่ใช่สูตร — แต่คุณยังต้องการ $f'$ ที่จุดหนึ่ง
- คุณสามารถ ประมาณ อนุพันธ์จากสิ่งที่มีอยู่
- จากกราฟ: วัดความชันของเส้นสัมผัสด้วยสายตา
- จากตาราง: ใช้ผลต่างอัตราช่วงระหว่างอินพุตที่ใกล้ที่สุด
ประมาณความชันด้วยการมองภาพ
y = x²
ขยับจุดและดูเส้นสัมผัส — ความชันของมันคืออนุพันธ์ที่คุณจะประมาณจากกราฟ
จากกราฟ: ความชันเส้นสัมผัส
- วาด (หรือจินตนาการ) เส้นสัมผัส ที่จุดนั้น แล้วอ่านค่าความชัน由其 rise ÷ run
- เลือกสองจุดที่ชัดเจน บนเส้นสัมผัส, ไม่ใช่บนเส้นโค้ง และคำนวณ $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$
- เส้นสัมผัสชันขึ้น → ค่า $|f'|$ ใหญ่ขึ้น; เส้นสัมผัสราบ → $f'\approx0$
- เส้นสัมผัสขึ้นสูง → อนุพันธ์เป็นบวก; ลงต่ำ → เป็นลบ
ในการประมาณ $f'(a)$ จากกราฟ, คุณควรวัดความชันของ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัส, อ่านจากจุดบนเส้นสัมผัส
จากตาราง: ผลต่างอัตราส่วน terdekat
- ด้วยค่าในตาราง, ประมาณ $f'(a)$ โดย ผลต่างอัตราส่วน ระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุด:
- สมมาตร การประมาณนี้ดีที่สุด: $f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$, โดยใช้จุดหนึ่งด้านละหนึ่งจุด
- หรือใช้ผลต่างอัตราส่วนด้านเดียว $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ หากมีเพื่อนบ้านเพียงด้านเดียว
- ค่า $h$ ที่เล็กลง (อินพุตที่ใกล้กัน) โดยทั่วไปให้ การประมาณ ที่ดีกว่า
ตารางให้ค่า $f(1.9)=4.2$ และ $f(2.1)=5.8$. ใช้ผลต่าง quotient แบบสมมาตรเพื่อประมาณ $f'(2)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{5.8-4.2}{2(0.1)}=\dfrac{1.6}{0.2}=8$.
การใช้ค่าอินพุตที่ใกล้จุดมากขึ้นโดยทั่วไปช่วยปรับปรุงการประมาณอนุพันธ์จากตาราง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ช่วงที่เล็กกว่าเป็นการประมาณความชันของเส้นสัมผัสที่ดีกว่า
อนุพันธ์ที่อ่านจากตารางหรือกราฟคือ ____, ไม่ใช่ค่าที่แน่นอน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เพียงพีชคณิตบนสูตรเท่านั้นที่ให้ค่าอนุพันธ์ที่แน่นอน
จาก $f(3)=10$ และ $f(3.2)=11.4$, ประมาณ $f'(3)$ ด้วยผลต่าง quotient แบบด้านเดียว
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{11.4-10}{3.2-3}=\dfrac{1.4}{0.2}=7$.
อ่านเครื่องหมายและขนาด
- เครื่องหมาย ของค่าประมาณบอกทิศทางที่ $f$ กำลังมุ่งไป: $+$ เพิ่มขึ้น, $-$ ลดลง
- ขนาด บอกความเร็ว: อนุพันธ์ที่ $12$ หมายความว่า $f$ เปลี่ยนแปลงประมาณ $12$ หน่วยต่อหนึ่งหน่วยของ $x$ ณ จุดนั้น
- ต้องแนบหน่วยและตีความในบริบท (เช่น "อุณหภูมิกำลังเพิ่มขึ้นประมาณ $2^\circ$C ต่อนาที")
- การประมาณคือการประมาณค่า — บอกไว้ และใช้ข้อมูลที่ใกล้เคียงที่สุดที่มีอยู่
หากอนุพันธ์ที่ประมาณได้ที่จุดใดมีค่าลบ, ฟังก์ชันที่จุดนั้นคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราติดลบหมายความว่าฟังก์ชันกำลังลดลงที่นั่น
เมื่อประมาณจากกราฟ, อ่านความชันของ เส้นสัมผัส, ไม่ใช่ของเส้นประใกล้เคียง, และเลือกสองจุดของคุณออกจาก เส้นสัมผัส, ไม่ออกจากเส้นโค้ง จากตาราง, อย่าใช้จุด $a$ เองเป็นทั้งอินพุต — คุณต้องการอินพุต สองแบบ ที่คั่นกลาง (หรือเข้าใกล้) $a$
ตารางให้ $f(1.9)=4.2$, $f(2)=5.0$, $f(2.1)=5.9$ ประเมิน $f'(2)$
- ผลต่างอัตราส่วนสมมาตร: $f'(2)\approx\dfrac{f(2.1)-f(1.9)}{2(0.1)}=\dfrac{5.9-4.2}{0.2}=\dfrac{1.7}{0.2}=8.5$
- (การประมาณด้านเดียว $\dfrac{5.9-5.0}{0.1}=9$近แต่ไม่สมดุล)
- ดังนั้น $f'(2)\approx8.5$ — $f$ กำลังเพิ่มขึ้นประมาณ $8.5$ หน่วยต่อหน่วยของ $x$
ในการ ประมาณอนุพันธ์: จาก กราฟ, อ่านความชันของ เส้นสัมผัส (rise ÷ run โดยใช้จุดบนเส้นสัมผัส); จาก ตาราง, ใช้ ผลต่างอัตราส่วน ระหว่างอินพุตที่ใกล้ที่สุด — ผลต่างอัตราส่วน สมมาตร $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ มีความแม่นยำมากที่สุด เครื่องหมายบอกทิศทาง, ขนาดบอกอัตราการเปลี่ยนแปลง