การกำจัดความไม่ต่อเนื่อง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันแบบแบ่งส่วน |
การซ่อมแซมรูพร่อง
- Removable discontinuity คือรูพร่องที่ limit มีอยู่แต่ค่าของฟังก์ชันผิดหรือไม่มี
- เนื่องจาก limit เป็นตัวเลขที่ถูกต้องสมบูรณ์ คุณสามารถ redefine ค่าฟังก์ชันที่จุดนั้นเพียงจุดเดียวเพื่อเติมเต็มรูพร่อง
- ตั้งค่าของจุดให้เท่ากับ limit — แล้วเส้นโค้งจะไหลผ่านได้อย่างลื่นไหล
- นี่คือ การซ่อมแซม ความต่อเนื่อง: ทำได้เฉพาะในกรณี removable type เท่านั้น
เส้นโค้งที่อยู่เบื้องหลังรู
y = x + 3
ฟังก์ชันที่ถูกตัดทอน $y=x+3$ เป็นเส้นตรง — การเติมรูเพียงพล็อตจุดที่เส้นตรงผ่านอยู่แล้ว
การหาค่าคงที่ที่ไม่ทราบค่า
- ฟังก์ชันแบบแยกส่วนมักจะมีค่าคงที่ $k$ ที่ไม่ทราบค่า และคุณต้องเลือก $k$ เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง
- กฎคือเงื่อนไข (3): ให้ ลิมิตเท่ากับค่า ที่จุดต่อ
- ตั้งให้สองส่วนของฟังก์ชันเท่ากัน ที่จุดเชื่อม แล้วแก้สมการหา $k$
- สมการหนึ่ง ตัวแปรหนึ่ง — คณิตศาสตร์เชิงพีชคณิตที่สะอาด/simple
เพื่อให้ฟังก์ชันแบบแบ่งช่วงต่อเนื่องที่รอยต่อ ให้ตั้งให้ลิมิตเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นั่นคือเงื่อนไขความต่อเนื่อง (3): ลิมิต $=$ ค่า
รูปแบบตัวอย่างที่ทำงานได้
- สมมติว่า $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ ต้องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $x=2$
- ลิมิตจากซ้าย: $2+k$. ค่าจากขวา: $3(2)-1=5$.
- ความต่อเนื่องต้องการ $2+k=5$, ดังนั้น $k=3$
- เมื่อมี $k=3$ สองส่วนจะมาพบกันพอดี — ไม่มีการกระโดด เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง
สำหรับ $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ ให้ต่อเนื่องที่ $x=2$, จงหา $k$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
วางชิ้นส่วนเท่ากันที่ $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$
รู้สิ่งที่คุณ 'แก้ไข' ไม่ได้
- มีเพียง 'รู' แบบ removable เท่านั้นที่ซ่อมแซมได้ — ลิมิตต้องมีอยู่ก่อนแล้ว
- การ กระโดด (ลิมิตจากฝั่งไม่เท่ากัน) มีช่องว่างที่มีขนาดจริง: การกำหนดค่าใหม่เพียงจุดเดียวไม่สามารถปิดช่องว่างนี้ได้
- ความไม่ต่อเนื่องแบบ อนันต์ จะพุ่งสูงขึ้น: ไม่มีค่าใดสามารถควบคุมเส้นประ (asymptote) ได้
- ดังนั้น ให้จำแนกประเภทก่อน; หากลิมิตสองด้านไม่มีอยู่ ความไม่ต่อเนื่องนั้นถาวร
ความไม่连续性 ใด สามารถ แก้ไขได้ด้วยการกำหนดจุดเดียวใหม่?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มีเพียงประเภทที่แก้ไขได้ที่มีลิมิตสองข้างให้ตรงกัน; การกระโดดและการพุ่งขึ้นไม่สามารถแก้ไขได้
การนิยาม $f(c)$ ใหม่สามารถสร้างลิมิตสองฝั่งซึ่งไม่เคยมีมาก่อนได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จุดเดียวไม่ส่งผลต่อลิมิต; หากสองฝั่งไม่ตรงกัน การนิยามใหม่จะเปลี่ยนอะไรไม่ได้เลย
เลือก ทั้งหมด จุดไม่ต่อเนื่องที่ ไม่สามารถ ลบออกได้
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ทุกสิ่งที่ไม่มีลิมิตสองฝั่งเป็นถาวร; มีเพียงรูแบบลบออกได้เท่านั้นที่สามารถเติมเต็มได้
คุณสามารถ "ลบ" ความไม่ต่อเนื่องได้ก็ต่อเมื่อ ลิมิตสองด้านมีอยู่ก่อน ถ้าลิมิตจากซ้ายและขวาไม่เท่ากัน การกำหนด $f(c)$ เป็นจำนวนใดๆ ก็ตามจะยังคงทำให้สองฝั่งไม่ตรงกัน — ฟังก์ชันจะยังคงไม่ต่อเนื่อง การกำหนดค่าจุดใหม่ไม่เคยสร้างลิมิตที่ไม่มีอยู่เดิม
เพื่อกำจัดรูของ $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ ที่ $x=5$, กำหนด $f(5)$ เท่ากับลิมิต ค่า的是什么?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิต $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, ดังนั้น $f(5)=10$
หา $c$ เพื่อให้อะไร $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x\neq3\\ c,&x=3\end{cases}$ ต่อเนื่องที่ $x=3$
- ลิมิต: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$
- ความต่อเนื่องต้องการ $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$
- การกำหนด $c=6$ เติมเต็มรู; $f$ ตอนนี้ต่อเนื่องที่ $3$
ความไม่ต่อเนื่องที่แก้ไขได้ (removable discontinuity) แก้ไขได้โดยการนิยาม $f(c)$ ใหม่ให้เท่ากับค่าลิมิตที่มีอยู่ สำหรับ ฟังก์ชันแบบแยกส่วน (piecewise function) ที่มีค่าคงตัวที่ไม่ทราบค่า ให้ตั้งให้แต่ละส่วนเท่ากันที่จุดเชื่อมต่อ — ซึ่งคือค่าลิมิต $=$ — แล้วแก้สมการ ความกระโดด (jump) และ อนันต์ (infinite) ไม่มีความลิมิตสองด้าน ดังนั้นจึง ไม่สามารถ แก้ไขได้