เชื่อมโยงลิมิตอนันต์กับเส้นประบวกรายแนวตั้ง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | ลิมิตอนันต์ |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นประแนวนอน |
เมื่อผลลัพธ์พุ่งเข้าสู่อนันต์
- บางครั้งใน $x\to c$ ฟังก์ชันอาจไม่เข้าใกล้ค่าคงที่ — มันจะเพิ่ม ไม่มีที่สิ้นสุด
- เราเขียน $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ (หรือ $-\infty$) เพื่ออธิบายพฤติกรรมพุ่งนี้
- นี่คือ ลิมิตอนันต์ (infinite limit) ระวัง: "$=\infty$" เป็น คำอธิบาย ไม่ใช่ค่าจริง — โดยทางเทคนิคแล้วลิมิต ไม่มีอยู่ ในรูปของจำนวน有限的
- เกิดขึ้นเมื่อบทหารดัดจางลงเป็นศูนย์ในขณะที่ตัวเศษยังคงห่างจากศูนย์
การเขียน $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ หมายความว่าลิมิตมีอยู่เป็นจำนวน有限的
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันคือคำย่อของการเติบโตที่ไม่จำกัด; ในฐานะจำนวน有限的 ลิมิตไม่มีอยู่จริง
อ่านแต่ละด้านแยกต่างหาก
- ใกล้จุดระเบิด (blow-up) ทั้งสองด้านมักมีพฤติกรรมต่างกัน ดังนั้นใช้ลิมิตอนันต์ ด้านเดียว (one-sided)
- สำหรับ $f(x)=\dfrac1{x-2}$: เมื่อ $x\to2^-$ ตัวหารเป็นบวกเล็กน้อยมาก ดังนั้น $f\to-\infty$
- เมื่อ $x\to2^+$ ตัวหารเป็นลบเล็กน้อยมาก ดังนั้น $f\to+\infty$
- สัญญาณของตัวหารที่หดตัวกำหนดทิศทางที่แต่ละด้านพุ่ง
ดูมันปีนขึ้นตามเส้นประบวกราย
y = a / (x − b)
เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $b$, ค่าผกผันพุ่งไปที่ $+\infty$ จากด้านหนึ่งและ $-\infty$ จากอีกด้าน — เส้น $x=b$ เป็นเส้นประบวกรายแนวตั้ง
สำหรับ $f(x)=\dfrac1{x-2}$, ค่าของ $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทางซ้ายมือของ $2$, $x-2$ เป็นค่าลบเล็กน้อย, ดังนั้น $\frac{1}{\text{tiny}^-}\to-\infty$
การระบุเส้นประแนวนอน
- เส้นประแนวตั้ง (vertical asymptote) คือเส้น $x=c$ ที่กราฟโอบอ้อมเมื่อพุ่งเข้าหา $\pm\infty$
- สำหรับฟังก์ชันพหุนาม (rational function) ดูตำแหน่งที่ ตัวหารเป็นศูนย์ แต่ตัวเศษ ไม่เป็นศูนย์
- $\dfrac{x+1}{x-2}$: ตัวหารเป็นศูนย์ที่ $x=2$, ตัวเศษ $=3\neq0$ ที่นั่น → เส้นประแนวตั้ง $x=2$
- (ถ้าทั้งสองเป็นศูนย์ ให้แยกตัวประกอบก่อน — อาจเป็นรูที่แก้ไขได้แทน)
ที่ค่า $x$ ใด $f(x)=\dfrac{x+1}{x-4}$ จึงมีเส้นประบวกรายแนวตั้ง?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ตัวส่วนเป็นศูนย์ที่ $x=4$, ตัวเศษ $=5\neq0$ → เส้นประบวกราย $x=4$
สำหรับ $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ ที่ $x=3$, ทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นศูนย์ นี่คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งสองเป็นศูนย์หมายถึงตัดทอน: $x+3\to6$. มันคือรูแบบลบออกได้ ไม่ใช่เส้นประบวกราย
เส้น $x=c$ ที่กราฟโอบอ้อมเมื่อพุ่งไปที่ $\pm\infty$ เป็นเส้น ____ แนวตั้ง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันระบุความไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์
ลิมิตอนันต์ ⇄ เส้นประ
- ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับกราฟและข้อเท็จจริงเกี่ยวกับลิมิตคือมุมมองเดียวกันของสิ่งเดียวกัน
- "$\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$" คือ เส้นโค้งที่พุ่งเข้าหาเส้นประ $x=2$ จากฝั่งขวา
- ดังนั้นลิมิตอนันต์ที่ $c$ จึงรับประกันเส้นประแนวตั้งที่ $x=c$ และในทางกลับกัน
- อธิบายทั้งสองอย่าง: ลิมิตอนันต์ด้านเดียว และ เส้นเส้นประ
ฟังก์ชันเรขาคณิตจะมีเส้นประบวกรายแนวตั้งที่ $x=c$ เมื่อ ข้อใด ถูกต้อง?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ตัวส่วนเป็นศูนย์, ตัวเศษไม่เป็นศูนย์ → พุ่งพวย. หากตัวเศษก็เป็นศูนย์ อาจเป็นรูแบบลบออกได้
การเขียน $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ ไม่ได้ หมายความว่าลิมิตมีอยู่ในรูปของตัวเลข — เป็นคำย่อสำหรับ "เติบโตโดยไม่จำกัด" และการที่ตัวหารเป็นศูนย์เพียงอย่างเดียว ไม่ใช่ เส้นประอัตโนมัติ: หากตัวเศษ เป็น ศูนย์ที่นั่นด้วย ให้ตัดทอนก่อน — คุณอาจพบรูที่แก้ไขได้ ไม่ใช่จุดระเบิด
วิเคราะห์ $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$Near $x=2$.
- $x\to2^-$: ตัวหาร $\to0^-$, ดังนั้น $f\to-\infty$
- $x\to2^+$: ตัวหาร $\to0^+$, ดังนั้น $f\to+\infty$
- ตัวเศษ $1\neq0$, ดังนั้น $x=2$ เป็น เส้นประแนวตั้ง
- ลิมิตสองด้านไม่มีอยู่ (ทั้งสองด้านพุ่งไปทิศทางตรงกันข้าม)
ลิมิตอนันต์ $\lim_{x\to c}f(x)=\pm\infty$ อธิบายฟังก์ชันที่เติบโตโดยไม่จำกัดเมื่อ $x\to c$ — เป็นคำย่อ ไม่ใช่ค่า有限的 อ่านแต่ละด้านแยกต่างหาก (สัญญาณของตัวหารที่หดตัวกำหนดทิศทาง)的地方ที่ตัวหารของฟังก์ชันพหุนามเป็นศูนย์แต่ตัวเศษไม่เป็นศูนย์ จะมี เส้นประแนวตั้ง $x=c$