การยืนยันความต่อเนื่องในช่วง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | ช่วง |
| domains/dəˈmeɪnz/ | โดเมน |
จากจุดหนึ่งไปยังช่วงกว้าง
- ความต่อเนื่องที่จุดเดียวเป็นเรื่องดี; โดยปกติเราต้องการมันตลอดทั้ง ช่วง
- ฟังก์ชันจะ ต่อเนื่องบนช่วง ถ้ามันต่อเนื่องที่ ทุก จุดภายในช่วงนั้น
- นั่นคือเหตุผลที่ทำให้คุณสามารถวาดทั้งช่วงได้โดยไม่ยกปากกา
- ความละเอียดสองประการ: วิธีจัดการกับ จุดปลาย, และฟังก์ชันแบบใดบ้างที่มีคุณสมบัติต่อเนื่องโดยอัตโนมัติ
ต่อเนื่องตลอดทั้งมุมมอง
y = ax³ + bx
พหุนามต่อเนื่องในทุกช่วง — ไม่มีรู การกระโดด หรือการพุ่งขึ้นรุนแรงที่ไหนก็ตามที่คุณมอง
ช่วงเปิด vs. ช่วงปิด
- บน ช่วงเปิด $(a,b)$: ตรวจสอบความต่อเนื่องแบบสามเงื่อนไขที่ทุกจุดภายใน
- บน ช่วงปิด $[a,b]$: ต้องจัดการกับจุดปลายด้วย ซึ่งในจุดเหล่านั้นคุณจะเข้าใกล้ได้จาก ด้านเดียว เท่านั้น
- ที่จุดปลายซ้าย $a$, ต้องการ ความต่อเนื่องทางขวา: $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$
- ที่จุดปลายขวา $b$, ต้องการ ความต่อเนื่องทางซ้าย: $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$
ที่จุด ซ้าย $a$ ของช่วงปิด $[a,b]$, ความต่อเนื่องต้องการ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณสามารถเข้าใกล้จุดปลายด้านซ้ายได้เฉพาะจากทางขวา ดังนั้นจึงต้องการความต่อเนื่องทางขวา
สำหรับ $f(x)=\sqrt x$ บน $[0,9]$, การตรวจสอบความต่อเนื่องทางซ้ายที่จุดปลายด้านขวาต้องการ $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$ ค่า的是什么?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt 9 = 3$, ซึ่งเท่ากับ $f(9)$, ดังนั้น $f$ จึงมีความต่อเนื่องทางซ้ายที่นั่น
ฟังก์ชันที่ "มาพร้อมความต่อเนื่อง"
- ใน โดเมน ตามธรรมชาติของพวกมัน กลุ่มฟังก์ชันเหล่านี้มีความต่อเนื่องที่ทุกที่:
- พหุนาม — ต่อเนื่องสำหรับ $x$ จริงทั้งหมด
- ฟังก์ชันตรรกยะ, เอ็กซ์โพเนนเชียล, ลอการิทึม และ ตรีโกณมิติ — ต่อเนื่องทุกจุดที่นิยามได้
- ดังนั้น ฟังก์ชันตรรกยะจึงต่อเนื่อง ยกเว้น ที่ตัวส่วนเป็นศูนย์; $\ln x$ ต่อเนื่องสำหรับ $x>0$
ฟังก์ชันใดต่อเนื่องสำหรับ ทุก $x$ จริง?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พหุนามต่อเนื่องทั่วทุกที่; ส่วนอื่น ๆ มีช่องว่างของโดเมน
เลือก ทุก ครอบครัวฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนโดเมนธรรมชาติทั้งหมดของตน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งสี่ต่อเนื่องตลอดทั้งโดเมน — โดเมน просто ตัดจุดปัญหาออก (เช่น ฟังก์ชันตรรกยะที่ศูนย์ของส่วนประกอบ)
ทำไมเราต้องใส่ใจ: เพราะมันเปิดประตูสู่ทฤษฎีบท
- ความต่อเนื่องบนช่วงปิดคือ บัตรผ่านสำคัญ เพื่อเข้าสู่ทฤษฎีบทใหญ่ๆ ในอนาคต
- ทฤษฎีบทค่ากลาง (1.16) และ ทฤษฎีบทค่าสูงสุด-ต่ำสุด (Unit 5) ทั้งสอง ต้องการ ความต่อเนื่องบน $[a,b]$
- หากข้ามขั้นตอนตรวจสอบความต่อเนื่อง ทฤษฎีบทเหล่านี้ก็จะใช้ไม่ได้เลย — ซึ่งเป็นกับดักในการสอบที่พบบ่อย
- ดังนั้น การยืนยันความต่อเนื่องตลอดทั้งช่วงจึงไม่ใช่เรื่องไร้ประโยชน์ แต่เป็นสมมติฐานพื้นฐานที่everything else ยึดถือ
$f(x)=\dfrac1x$ ต่อเนื่องบนช่วง $[-1,1]$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$0\in[-1,1]$ และ $f$ พุ่งขึ้นที่นั่น ดังนั้นจึงไม่ต่อเนื่องบนช่วงนั้น
ความต่อเนื่องบนช่วงปิดเป็นสมมติฐานที่จำเป็นของทฤษฎีบทค่า ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
IVT (และทฤษฎีบทค่าสูงสุด) ต้องการความต่อเนื่องบน $[a,b]$
"ต่อเนื่องบนโดเมน" ไม่ใช่สิ่งเดียวกับ "ต่อเนื่องทุกที่" $f(x)=\dfrac1x$ ต่อเนื่องบนโดเมนของมัน (คือ $x\neq0$ ทั้งหมด) แต่มัน ไม่ ต่อเนื่องบน $[-1,1]$ เนื่องจาก $0$ อยู่ในช่วงนั้นและ $f$ มีพฤติกรรมพุ่งไปอนันต์ที่จุดนั้น เสมอต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าช่วงนั้นหลีกเลี่ยงจุดที่มีปัญหา
$f(x)=\sqrt{x}$ ต่อเนื่องบน $[0,4]$ หรือไม่?
- จุดภายใน $(0,4)$: $\sqrt x$ ต่อเนื่อง (เป็นฟังก์ชันมาตรฐานบนโดเมนของ nó). ✓
- จุดปลายซ้าย $0$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — ต่อเนื่องทางขวา. ✓
- จุดปลายขวา $4$: $\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — ต่อเนื่องทางซ้าย. ✓
- ดังนั้น $f$ จึงต่อเนื่องบนช่วงปิด $[0,4]$
$f$被称为“continuous on an interval”เมื่อมันต่อเนื่องที่ทุกจุดภายใน โดยใช้อะ致的 one-sided continuity ที่จุดปลายของช่วงปิด ฟังก์ชันพหุนาม, ตรรกยะ, เอ็กซ์โพเนนเชียล, ลอการิทึม และตรีโกณมิติ ต่อเนื่องบน domains ของ它们。Interval-continuity นี้คือ hypothesis ที่ IVT และ EVT อิงอาศัย