การนิยามความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | ต่อเนื่อง |
"วาดมันโดยไม่ยกปากกา"
- โดยสัญชาตญาณ ฟังก์ชันมีความ ต่อเนื่อง ที่ $c$ หากกราฟของมันไม่มีการขาดหายที่นั่น — ไม่มีรู, ไม่มีการกระโดด, ไม่มีการระเบิด
- แต่ "ไม่มีการขาดหาย" ต้องการการทดสอบที่แม่นยำที่คุณสามารถ ตรวจสอบ ไม่ใช่แค่มองด้วยตา
- คณิตศาสตร์เชิงอนุพันธ์กำหนดไว้เป็น สามเงื่อนไข ทั้งหมดเกี่ยวกับจุด $c$
- ผ่านทั้งสามและเส้นโค้งจะไหลลื่นผ่าน $\big(c, f(c)\big)$
เส้นโค้งที่ไม่มีรอยขาด
y = ax² + bx + c
พหุนามนี้ผ่านเงื่อนไขความต่อเนื่องทั้งสามที่ทุกจุด — กำหนดไว้ ลิมิตมีอยู่ และทั้งสองตรงกัน
สามเงื่อนไข
- (1) $f(c)$ มีการกำหนด — จุดนั้นมีอยู่จริง (ไม่มีรู)
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ มีอยู่ — ลิมิตจากด้านข้างทั้งสองตกลงกัน (ไม่มีการกระโดด, ไม่มีการระเบิด)
- (3) พวกมัน เท่ากัน: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — เส้นโค้งมาถึงที่จุดนั้นพอดี
- ทั้งสามต้องเป็นจริง ความต่อเนื่องที่ $c$ คือเงื่อนไข (1) + (2) + (3) อย่างแท้จริง
เลือก ทุก เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ $f$ ให้ต่อเนื่องที่ $c$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เงื่อนไขทั้งสามคือ กำหนดไว้, ลิมิตมีอยู่, และเท่ากัน การเป็นพหุนามนั้นไม่จำเป็นต้องใช้
เงื่อนไขความต่อเนื่องที่สามระบุว่าลิมิตต้อง ____ ค่าฟังก์ชัน $f(c)$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
ล้มเหลวเพียงข้อเดียว → ความไม่ต่อเนื่อง
- ล้มเหลว (1): จุดหายไป — เป็นรูแม้ว่าลิมิตจะมีอยู่ก็ตาม
- ล้มเหลว (2): ข้างซ้ายและขวาไม่ตรงกันหรือฟังก์ชันระเบิด — เป็นการขาดหายแบบกระโดดหรือแบบอนันต์
- ล้มเหลว (3): ทั้งสองมีอยู่แต่จุดลอยออกจากเส้นโค้ง — เป็นรูแบบที่แก้ไข đượcที่พล็อตไว้ที่อื่น
- การล้มเหลวแต่ละอย่างตรงกับ ประเภทความไม่ต่อเนื่อง จากบทเรียนก่อนหน้า
หาก $f(c)=1$ และ $\lim_{x\to c}f(x)=4$, แล้วที่ $c$ ฟังก์ชันจะเป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งสองมีอยู่แต่ไม่ตรงกัน — เงื่อนไขที่ 3 ล้มเหลว ดังนั้น $f$ จึงไม่ต่อเนื่อง (เป็นรูที่แก้ไขได้)
ตรวจสอบจุดเฉพาะ
- แทนค่า: آیا $f(c)$ เป็นจำนวนจริง? (เงื่อนไข 1.)
- หาลิมิตจากทั้งสองฝั่ง: آیاพวกมันตกลงกันที่ค่า $L$? (เงื่อนไข 2.)
- เปรียบเทียบ: آیا $L=f(c)$? (เงื่อนไข 3.)
- เพียง "ใช่, ใช่, ใช่" เท่านั้นที่จะได้รับฉลาก ต่อเนื่องที่ $c$
การรู้ว่า $f(c)$ ถูกกำหนดไว้เพียงอย่างเดียวก็เพียงพอที่จะสรุปว่า $f$ ต่อเนื่องที่ $c$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คุณยังต้องการให้ลิมิตมีอยู่และเท่ากับ $f(c)$
สำหรับ $f(x)=x^2+1$, ค่า $f$ ต่อเนื่องที่ $x=2$ หรือไม่?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เงื่อนไขทั้งสามเป็นจริง ดังนั้น $f$ จึงต่อเนื่องที่ $2$ (พหุนามต่อเนื่องทั่วทุกจุด)
สำหรับการต่อเนื่องของ $f$ ที่ $x=1$ เราต้องการ $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$ หาก $\lim_{x\to1}f(x)=7$,那么 $f(1)$ ต้องเท่ากับอะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เงื่อนไขที่ 3 บังคับให้ $f(1)=7$
จำเป็นต้องใช้ทั้งสามเงื่อนไข — การตรวจสอบเพียงว่า $f(c)$ มีค่าอยู่ หรือมีลิมิตอยู่เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ ฟังก์ชันสามารถมี $f(c)=1$ และ $\lim_{x\to c}f(x)=4$ ที่ดีทั้งคู่ได้ แต่ยังคง ไม่ต่อเนื่อง เพราะ $1\neq4$ (เงื่อนไข 3 ไม่เป็นจริง)
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$ ต่อเนื่องที่ $x=1$ หรือไม่?
- (1) $f(1)=3$ — มีนิยาม. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — มีลิมิต. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — ไม่เท่ากัน. ✗
- เงื่อนไข (3) ไม่เป็นจริง ดังนั้น $f$ จึง ไม่ต่อเนื่อง ที่ $1$ (รูที่ลบออกได้โดยมีจุดพล็อตอยู่ที่ความสูง $3$)
$f$ จะ ต่อเนื่อง ที่ $c$ ก็ต่อเมื่อมี สาม สิ่งเกิดขึ้นพร้อมกัน: $f(c)$ มีนิยาม, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ มีลิมิต, และทั้งสองสิ่งนี้ เท่ากัน หากขาดไปเพียงอย่างใดจะเกิดภาวะไม่ต่อเนื่อง — เงื่อนไขที่ไม่เป็นจริงจะบอกคุณถึงประเภทของความไม่ต่อเนื่องนั้น