การสำรวจประเภทของความไม่ต่อเนื่อง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| discontinuity/dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | จุดไม่ต่อเนื่อง |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | จุดไม่ต่อเนื่องที่แก้ไขได้ |
| jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | จุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด |
| infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | จุดไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์ |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นประแนวนอน |
的地方 where a graph "breaks"
- เส้นโค้งต่อเนื่อง สามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกปากกา ความไม่ต่อเนื่อง คือการขาดหายของความต่อเนื่องนั้น
- ไม่ทุกการขาดหายเหมือนกัน — มีสาม ประเภท ที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน แต่ละแบบมีลายเซ็นกราฟของตัวเอง
- การระบุประเภทช่วยให้คุณรู้ทันทีว่าการขาดหายนั้นสามารถแก้ไขได้หรือไม่
- มาพบทั้งสามประเภทกัน: แบบที่แก้ไขได้, แบบกระโดด, และ แบบอนันต์
แบบที่แก้ไขได้: จุดเดียวที่หายไป
- ความไม่ต่อเนื่องแบบที่แก้ไขได้ ก็คือ รู บนเส้นโค้งที่เรียบเนียนส่วนใหญ่
- ลิมิต มีอยู่ (ทั้งสองฝั่งมาบรรจบกันที่ระดับสูงเดียวกัน) แต่ $f(c)$ หายไปหรือถูกพล็อตไว้ที่อื่น
- $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ มีรูอยู่ที่ $x=2$: ลิมิตคือ $4$ แต่ $f(2)$ ไม่มีการกำหนดค่า
- เนื่องจากลิมิตมีอยู่ คุณจึงสามารถ "เติมรู" ได้ — นั่นคือเหตุผลที่เรียกว่า แบบที่แก้ไขได้ (บทเรียน 1.13)
ที่ $x=3$, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ มีลิมิตเท่ากับ $6$ แต่ $f(3)$ ไม่กำหนด ความไม่ต่อเนื่องนี้คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตมีอยู่แต่ค่าหายไป — รู หรือที่เรียกว่าสามารถแก้ไขได้
แบบกระโดด: ข้างซ้ายและขวาไม่ตรงกัน
- ความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด เกิดขึ้นเมื่อลิมิตจากซ้ายและขวามีค่าจำกัดแต่ ต่างกัน
- กราฟกระโดดจากระดับหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่ง — คิดถึงขั้นบันไดหรือช่วงอัตราภาษี
- ที่นี่ $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ ไม่มีอยู่ เพราะลิมิตจากด้านข้างไม่ตรงกัน
- ไม่มีค่าจุดเดียวใดที่จะเชื่อมช่องว่างที่มีขนาดมากกว่าศูนย์ได้ ดังนั้นแบบกระโดดจึง ไม่ใช่ แบบที่แก้ไขได้
เส้นโค้งที่พุ่งขึ้นอย่างรุนแรง
y = a / (x − b)
ฟังก์ชันผกผันพุ่งเข้าหา $\pm\infty$ ใกล้จุดที่ส่วนประกอบเป็นศูนย์ — นั่นคือความไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์และเส้นกำกับแนวตั้ง
ความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดสามารถแก้ไขได้โดยการกำหนดฟังก์ชันใหม่ ณ จุดเดียว
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตทางซ้ายและขวาต่างกัน ดังนั้นไม่มีค่าเดียวที่จะเชื่อมช่องว่างได้ — ความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดไม่สามารถแก้ไขได้
ฟังก์ชันขั้นบันไดมีค่า $1$ สำหรับ $x<0$ และ $4$ สำหรับ $x\ge0$ ขนาดของการกระโดดที่ $x=0$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ขวาลบซ้าย: $4-1=3$
แบบอนันต์: ไปสู่ $\pm\infty$
- ความไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์ คือตำแหน่งที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัดnear $c$
- กราฟพุ่งขึ้นหรือลงตาม เส้นประแนวตั้ง — เช่นใน $f(x)=\dfrac1{x-2}$ ที่ $x=2$
- ลิมิตเป็นอนันต์ (หรือไม่มีอยู่) ดังนั้นการขาดหายนี้ก็ ไม่ใช่ แบบที่แก้ไขได้เช่นกัน
- ลายเซ็น: ตัวส่วนมุ่งหน้าเข้าสู่ศูนย์ในขณะที่ตัวเศษไม่ได้
ความไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์ปรากฏบนกราฟเป็นเส้นแนวตั้ง ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัดตามเส้นกำกับแนวตั้ง
ประเภทความไม่连续性 ใดเป็นเพียงประเภทเดียวที่มีลิมิตสองข้าง มีอยู่?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สามารถแก้ไขได้ = รูที่ทั้งสองด้านตรงกัน ดังนั้นลิมิตจึงมีอยู่
เลือก ทุก ฟังก์ชันที่มีความไม่ต่อเนื่องแบบ อนันต์ ที่จุดที่กำหนด
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อันที่สามสามารถแก้ไขได้ (ลิมิต $=2$) ส่วนอื่น ๆ พุ่งเข้าหา $\pm\infty$
เฉพาะ ประเภทที่แก้ไขได้ เท่านั้นที่มีลิมิตสองด้านที่แท้จริง สำหรับ ความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดด และ แบบอนันต์ ลิมิต ไม่มีอยู่ ดังนั้นการนิยามใหม่อย่างชาญฉลาดที่จุดเดียวไม่สามารถทำให้ฟังก์ชันต่อเนื่องได้ ลอง "เติม" แบบกระโดดไม่ได้ — ช่องว่างนี้มีขนาดจริง
จำแนกประเภทความไม่ต่อเนื่องของแต่ละจุดที่ระบุ:
- $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ ที่ $x=3$: ลิมิต $=6$, ค่าไม่มีการกำหนด → แบบที่แก้ไขได้ (รู)
- $f(x)=\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\ge0\end{cases}$ ที่ $x=0$: ซ้าย $\to1$, ขวา $\to2$ → กระโดด
- $\dfrac{1}{x^2}$ ที่ $x=0$: เพิ่มค่าไปสู่ $+\infty$ → แบบอนันต์
สาม ประเภทความไม่ต่อเนื่อง: แบบที่แก้ไขได้ (รู — ลิมิตมีอยู่แต่ $f(c)$ ไม่ตรงกับ), แบบกระโดด (ลิมิตจากด้านข้าง有限ที่ไม่ตรงกัน), และ แบบอนันต์ (ไม่มีค่าจำกัดnear $c$, เส้นประแนวตั้ง) เฉพาะประเภทที่แก้ไขได้เท่านั้นที่มีลิมิตสองด้าน ดังนั้นจึงมีเพียงประเภทนี้เท่านั้นที่แก้ไขได้