การกำหนดลิมิตโดยใช้คุณสมบัติทางพีชคณิตของลิมิต
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| limit laws/ˈlɪmɪt lɔːz/ | กฎของลิมิต |
| direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | แทนค่าโดยตรง |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | พหุนาม |
| rational/ˈræʃənl/ | ฟังก์ชันตรรกยะ |
| indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/ | รูปแบบไม่กำหนด |
ลิมิตปฏิบัติตามกฎพีชคณิตที่เป็นมิตร
- เมื่อคุณทราบลิมิตของฟังก์ชันสองตัวแล้ว สามารถรวมพวกมันเข้าด้วยกันเหมือนตัวเลขธรรมดา
- ไม่ว่า $f$ และ $g$ จะมุ่งหน้าไปสู่อะไร ผลบวกของพวกเขาจะมุ่งหน้าไปสู่ ผลบวก ของเป้าหมายเหล่านั้น
- สิ่งเดียวกันนี้ใช้กับการลบ การคูณ และ (อย่างระมัดระวัง) การหาร
- นี่คือ กฎของลิมิต — ทำให้คุณสามารถแยกลิมิตที่ยุ่งเหยิงออกเป็นส่วนย่อยที่เรียบง่าย
กฎของลิมิตรวบรวมไว้ในที่เดียว
- สมมติว่า $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ และ $\displaystyle\lim_{x\to c} g(x)=M$. แล้ว:
- ผลบวก/ผลต่าง: $\lim (f\pm g) = L\pm M$.
- ผลคูณ: $\lim (f\cdot g) = L\cdot M$; คงที่คูณด้วยฟังก์ชัน: $\lim (k f)=kL$.
- Quotient: $\displaystyle\lim \frac{f}{g}=\frac{L}{M}$, 前提是 $M\neq 0$
กำหนด $\lim f = 6$ และ $\lim g = 3$, หา $\lim \dfrac{f}{g}$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Quotient law (denominator limit $3\neq0$): $\frac{6}{3}=2$
กฎผลหาร $\lim\frac fg=\frac LM$ กำหนดให้ $M$ ซึ่งเป็นลิมิตของตัวส่วน ต้องไม่เป็น ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาก $M=0$ กฎนี้ใช้โดยตรงไม่ได้ — คุณอาจกำลังเจอรูปทรงที่ไม่กำหนดได้
การแทนค่าโดยตรง: ทางลัดที่รวดเร็ว
- สำหรับ พหุนาม หรือ ฟังก์ชันตรรกยะ กฎเหล่านี้รวมกันเป็นทางลัดเดียว: เพียงแค่แทนค่า $c$ ลงไป
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}(x^2-2x+1) = 3^2-2(3)+1 = 4$ — ไม่ต้องใช้ตาราง ไม่ต้องใช้กราฟ
- การแทนค่าโดยตรง ใช้ได้เมื่อฟังก์ชันมีนิยามและเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $c$
- นี่เป็นเรื่องแรกๆ ที่ต้องลองเสมอ — รวดเร็วที่สุดเมื่อทำได้สำเร็จ
พหุนามไม่มีunexpectedness
y = ax² + bx + c
พหุนามราบรื่นทุกที่ — ลากสัมประสิทธิ์และเห็น why การแทนค่า $c$ (direct substitution) просто reading off the height
หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^2 - x + 4)$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Direct substitution: $3(4)-2+4 = 14$
ลิมิตใดที่ การแทนค่าโดยตรง ให้คำตอบทันที?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ข้อที่สามให้ $\tfrac00$ (ลิมิตตัวส่วน $0$) ดังนั้นการแทนค่าจึงหยุดชะงัก; ข้ออื่นๆ ให้ค่าจำกัดทันที
เมื่อการแทนค่าติดขัด
- แทนค่าเข้าไปแล้ว你可能会得到 $\dfrac{0}{0}$: รูปที่ไม่กำหนดค่า (indeterminate form)
- รูปไม่กำหนดค่า ไม่ได้ หมายความว่าลิมิตล้มเหลว — มันหมายถึงการแทนค่าอย่างเดียวไม่สามารถตัดสินใจได้ และต้องการงานเพิ่มเติม (บทเรียนถัดไป)
- ระวังรายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ ของกฎผลหาร: มันต้องการ $M\neq0$. หากลิมิตของตัวส่วนคือ $0$ กฎนี้ใช้โดยตรงไม่ได้
- ดังนั้น: ลองแทนค่าก่อน; ถ้าได้จำนวนจริง คุณก็เสร็จสิ้น; ถ้าได้ $\tfrac00$ ให้เปลี่ยนกลยุทธ์
Direct substitution ให้ $\tfrac00$. This means...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00$ เป็นค่าที่ไม่กำหนดได้: เป็นสัญญาณให้ทำพีชคณิต ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย
เมื่อคุณพบลิมิตใหม่ การแทนค่าโดยตรงเป็นสิ่งที่ควรลองเป็นอันดับแรกอย่างมีเหตุผล
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเร็วที่สุดเมื่อทำได้; ให้เปลี่ยนกลยุทธ์ก็ต่อเมื่อได้รูปทรงที่ไม่กำหนดเท่านั้น
$\dfrac{0}{0}$ เป็น รูปไม่กำหนดค่า ไม่ใช่ "ศูนย์" และไม่ใช่ "ไม่กำหนดค่า-ดังนั้นไม่มีอยู่จริง" มันเป็นสัญญาณว่าลิมิตซ่อนอยู่และคุณต้องจัดรูปก่อน อย่ารายงาน $\tfrac00$ เป็นคำตอบ และอย่าสรุปว่าลิมิตไม่มีอยู่จริง — $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ ได้ $\tfrac00$ จากการแทนค่าYet却เท่ากับ $4$.
หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4}$
- ลิมิตของตัวเศษ: $2(1)^2+3 = 5$. ลิมิตของตัวส่วน: $1+4 = 5$
- ลิมิตของตัวส่วนคือ $5\neq 0$ ดังนั้นกฎผลหารใช้ได้
- $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{2x^2+3}{x+4} = \dfrac{5}{5} = 1$ โดยการแทนค่าโดยตรง
กฎของลิมิต ช่วยให้คุณแยกลิมิตออกเป็นผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร (ผลหารต้องการลิมิตของตัวส่วนที่ไม่ใช่ศูนย์) สำหรับพหุนามและฟังก์ชันตรรกยะสิ่งนี้จะลดรูปเหลือ การแทนค่าโดยตรง — ลองทำก่อนเสมอ ผลลัพธ์ของ $\tfrac00$ คือ รูปไม่กำหนดค่า: ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นสัญญาณให้จัดรูป