การหาลิมิตโดยใช้การดัดแปลงทางพีชคณิต
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | เทียบเท่า |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | การแยกตัวประกอบ |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | จำนวน-queryate |
$\tfrac00$ คือประตูที่ล็อกไว้ — พีชคณิตคือกุญแจ
- การแทนค่าโดยตรงเพิ่งให้คุณได้ $\dfrac00$. อย่าท้อถอย — จัดรูป ฟังก์ชันก่อน
- เทคนิค: หา นิพจน์ที่เทียบเท่า ที่ตรงกับฟังก์ชันเดิมทุกที่ยกเว้นจุดที่ปัญหา
- เนื่องจากลิมิตมองข้ามจุดเดียว $x=c$ ฟังก์ชันที่จัดรูปใหม่จะมี ลิมิตเหมือนกัน
- สามเครื่องมือทำงานเกือบทั้งหมด: แยกตัวประกอบ, จัดรูปราก, และ รวมfraction
การดัดแปลงทางพีชคณิตแทนฟังก์ชันด้วยฟังก์ชัน ____ ที่ตรงกันทุกที่ยกเว้นจุดที่ถูกนำออก
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าเดียวกันนอกจากรูหมายความว่าลิมิตเหมือนกัน
เครื่องมือที่ 1 — แยกตัวประกอบและตัดทอน
- การมี $\tfrac00$ ในฟังก์ชันตรรกยะหมายความว่า $(x-c)$ หาร ทั้ง ตัวเศษและตัวส่วน
- ใช้ การแยกตัวประกอบ กับแต่ละส่วน ตัด $(x-c)$ ที่คล้ายกันออก แล้วแทนค่า
- $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
- รูปแบบที่ถูกตัดทอนนั้นเหมือนกันเป๊ะกับฟังก์ชันเดิมสำหรับทุก $x\neq 3$ — ตรงจุดที่ลิมิตอาศัยอยู่
เส้นโค้งเรียบยกเว้นที่รู
y = x + 3 (จากการตัด (x−3))
หลังจากแยกตัวประกอบและตัดทอนแล้ว กราฟจะเป็นเส้นโค้งธรรมดาที่มีจุดเดียวหายไป — ลิมิตอ่านได้จากช่องว่างนั้น
หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{x-4}$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แยกตัวประกอบ: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4\to 8$
เครื่องมือที่ 2 — จัดรูกราก
- เมื่อรากกำลังสองทำให้เกิด $\tfrac00$ ให้คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย คู่-queryate
- สิ่งนี้จะขจัดรากและเผยให้เห็นตัวประกอบที่ตัดทอนได้
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac14$.
ลิมิต $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ ควรจัดการโดย...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รากที่ทำให้เกิด $\tfrac00$ ต้องการใช้รูป-query; ที่นี่ลิมิตคือ $\tfrac16$
หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ทำให้เป็นเศษส่วนเพื่อไปหา $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}\to\frac{1}{4}$
เครื่องมือที่ 3 — รวมfraction
- ผลต่างของfraction เช่น $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac12$ เหนือ $x$ ซ่อนตัวประกอบไว้เมื่อคุณใช้ส่วนร่วม
- รวมเป็นfraction เดียว ลดรูป และ $(x-c)$ จะถูกตัดทอน
- หลังการเคลื่อนไหวใดๆ เหล่านี้ ให้จบด้วยการ แทนค่าโดยตรง — ประตูตอนนี้เปิดแล้ว
- ไม่ว่าคุณจะใช้เครื่องมือใด คุณกำลังสร้าง equivalent function ที่ช่วยให้ substitution ความสำเร็จได้สำเร็จ
เลือก ทั้งหมด เครื่องมือทางพีชคณิตที่สามารถแก้ลิมิต $\tfrac00$ ได้
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สามข้อแรกเป็นการเขียนใหม่ที่ถูกต้อง; การปัดเศษไม่ใช่เทคนิคที่ถูกต้อง
การตัดทอน $(x-c)$ เปลี่ยนแปลงฟังก์ชันที่จุดเดียวพอดี: นิพจน์ที่จัดรูปใหม่ มีนิยาม ที่ $c$ ในขณะที่ฟังก์ชันเดิมมีจุดว่างที่นั่น สิ่งนี้โอเคสำหรับ ลิมิต (ซึ่งไม่เคยดู $x=c$) แต่อย่าอ้างว่าฟังก์ชันทั้งสองเหมือนกันเป๊ะ — พวกมันแตกต่างกันที่จุดที่ถูกนำออก
หลังจากตัด $(x-3)$ ออกแล้ว ฟังก์ชันที่ลดรูปจะเหมือนกันเป๊ะกับฟังก์ชันเดิมในทุกจุด รวมถึง $x=3$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พวกมันตรงกันทุกที่ยกเว้น $x=3$ ซึ่งฟังก์ชันเดิมมีรู ลิมิตไม่เปลี่ยนแปลง แต่ฟังก์ชันแตกต่างกันที่นั่น
หาค่า $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x^2+3x+2}$
- การแทนค่าให้ค่า $\tfrac00$ — แยกตัวประกอบทั้งสอง
- $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}$ สำหรับ $x\neq -1$
- แทนค่า: $\dfrac{-1-1}{-1+2}=\dfrac{-2}{1}=-2$
เมื่อการแทนค่าให้ค่า $\tfrac00$ ให้จัดรูปฟังก์ชันให้เป็น รูปแบบที่เทียบเท่า ที่ตรงกับทุกที่ยกเว้นที่ $c$: แยกตัวประกอบและตัดทอน, จัดรูกราก ด้วยคู่-queryate, หรือ รวมfraction จากนั้นแทนค่า การจัดรูปใหม่นี้มีลิมิตเดียวกันเพราะลิมิตมองข้ามจุดเดียวที่ถูกนำออก