พลังงานในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
| English | ไทย |
|---|---|
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | จุดดุลยภาพ |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | การลดทอน |
พลังงานไปอยู่ที่ไหนเมื่อถึงจุดสูงสุดของการส่าย
- ที่จุดสูงสุดของการส่าย คุณหยุดนิ่งเป็นเสี้ยววินาที พลังงานจลน์ของคุณจึงมีค่าเป็นศูนย์พอดี
- เพียงไม่กี่เสี้ยววินาทีถัดมา คุณจะมีความเร็วมากกว่า任何其他จุดในวงโค้ง ไม่มีใครผลักคุณ; พลังงานไม่เคยหายไป
- มันถูกเก็บอยู่ในคลังพลังงานศักย์ และกลับมาใช้ใหม่ทันที การสั่นสะเทือนคือการแลกเปลี่ยนนี้ occurring ซ้ำๆ จนกว่าแรงเสียดทานจะทำให้หยุด
- บทเรียนนี้เกี่ยวกับพลังงานของตัวสั่น: วิธีการแลกเปลี่ยน, ทำไมผลรวมคงที่, และทำไมผลรวมจึงขึ้นอยู่กับ กำลังสอง ของแอมพลิจูด
การแลกเปลี่ยน
- ที่ตำแหน่ง สมดุล ความเร็วมีค่ามากที่สุด ดังนั้น พลังงานจลน์มีค่าสูงสุด และพลังงานศักย์มีค่าน้อยที่สุด
- ที่ จุดสุดขั้ว ตัวสั่นจะหยุดนิ่งเป็นชั่วคราว ดังนั้น พลังงานจลน์จะเป็นศูนย์ และพลังงานศักย์จะมีค่าสูงสุด
- ระหว่างทางทั้งสองแลกเปลี่ยนกันอย่างต่อเนื่อง การแลกเปลี่ยนเกิดขึ้น สองครั้ง ต่อหนึ่งรอบการสั่นเต็ม เพราะตัวสั่นผ่านจุดศูนย์กลางสองครั้ง
สองเส้นโค้งต่างเฟสกัน และมีเส้นราบอยู่ด้านบน
พลังงานจลน์ของตัวสั่นมีค่ามากที่สุด:
ความเร็วมากที่สุดที่กึ่งกลาง ดังนั้น KE สูงสุดที่นี่ในขณะที่ PE ต่ำที่สุด
ที่ตำแหน่งสุดขั้วของการเคลื่อนที่ พลังงานทั้งหมดเป็นพลังงานศักย์
ตัวสั่นหยุดนิ่งชั่วขณะที่นี่ ดังนั้น KE = 0 และพลังงานทั้งหมดเป็นพลังงานศักย์
ผลรวมคงที่
- เมื่อไม่มี การลดทอน (damping) หรือแรงต้านที่ดึงพลังงานออกไป พลังงานรวมจะคงที่ นี่คือกฎการอนุรักษ์พลังงานที่ใช้กับตัวสั่น
- จุดที่ง่ายที่สุดในการคำนวณคือที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งทั้งหมดเป็นพลังงานจลน์และความเร็วคือ $\omega x_0$:
- บนกราฟตามตำแหน่ง พลังงานจลน์เป็นพาราโบลาคว่ำ พลังงานศักย์เป็นพาราโบลาหงาย และผลรวมของทั้งสองเป็นเส้นแนวนอน
พาราโบลาทั้งสองบวกกันได้ค่าคงที่ที่ทุกตำแหน่ง
พลังงานใน SHM
KE + PE = ค่าคงที่
พลังงานแลกเปลี่ยนระหว่าง พลังงานจลน์ (เร็วที่สุดที่กึ่งกลาง) และ พลังงานศักย์ (สูงสุดที่ปลาย那边)
โดยไม่มีการหน่วง พลังงานรวมของตัวสั่นจะคงที่
พลังงานแค่แลกเปลี่ยนระหว่าง KE และ PE; ผลรวมของพวกเขาถูกอนุรักษ์
พลังงานและแอมพลิจูด
- เนื่องจาก $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$ พลังงานรวมจึงแปรผันตรงกับ กำลังสอง ของแอมพลิจูด
- เพิ่มแอมพลิจูดเป็นสองเท่า พลังงานจะเพิ่มขึ้นสี่เท่า เพิ่มสามเท่า พลังงานจะเพิ่มขึ้นเก้าเท่า
- นี่คือความสัมพันธ์ที่ข้อสอบทดสอบบ่อยที่สุด และการตอบว่า "สองเท่า" สำหรับแอมพลิจูดที่เพิ่มเป็นสองเท่า เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อย่อยนี้
หากแอมพลิจูดเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า พลังงานรวมของระบบสั่นจะกลายเป็น:
$E \propto x_0^{2}$ ดังนั้นการเพิ่ม $x_0$ เป็นสองเท่าจะทำให้ $2^{2} = 4$ เท่าของพลังงาน
แอมพลิจูดของระบบสั่นแบบไม่มีการหน่วงถูกเพิ่มเป็นสองเท่า จะเกิดอะไรขึ้นกับพลังงานรวม?
E สัมพันธ์กับกำลังสองของแอมพลิจูด จากสมการ E = m omega^2 x0^2 / 2 การตอบว่า "สองเท่า" เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อย่อยนี้
ตัวอย่างวิธีทำ: หาพลังงานรวม
- ตัวสั่นที่มีมวล $0.20\ \text{kg}$ มีความถี่เชิงมุม $10\ \text{rad/s}$ และมีแอมพลิจูด $0.050\ \text{m}$. จงหาพลังงานรวมและพลังงานจลน์当其 displacement คือ $0.030\ \text{m}$.
- รวม: $E = \tfrac12 m \omega^2 x_0^2 = \tfrac12 \times 0.20 \times 10^2 \times 0.050^2 = 0.025\ \text{J}$.
- ที่ $x = 0.030\ \text{m}$: $v = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2} = 10\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 0.40\ \text{m/s}$, ดังนั้น $E_{\text{k}} = \tfrac12 \times 0.20 \times 0.40^2 = 0.016\ \text{J}$.
- พลังงานศักย์ที่นั่นคือผลต่าง, $0.025 - 0.016 = 0.009\ \text{J}$. การใช้พลังงานรวมคงที่เพื่อหาค่าพลังงานอีกตัวนั้นเร็วกว่าและปลอดภัยกว่าการใช้สูตรแยกต่างหาก
ระบบสั่นมี $m = 0.20\ \text{kg}$, $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ และแอมพลิจูด $0.10\ \text{m}$ พลังงานรวมของมันคือ?
$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_0^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.20 \times 10^{2} \times 0.10^{2} = 0.10\ \text{J}$.
ระบบสั่นที่มีมวล 0.20 kg มี omega = 10 rad/s และแอมพลิจูด 0.050 m พลังงานรวมของมันคือเท่าไหร่ในจูล?
E = m omega^2 x0^2 / 2 = 0.20 x 100 x 0.0025 / 2 = 0.025 J การคำนวณที่จุดกึ่งกลาง ซึ่งพลังงานทั้งหมดเป็นพลังงานจลน์ เป็นวิธีที่รวดเร็วที่สุด
หากพลังงานรวมคือ 0.025 J และพลังงานจลน์ที่ตำแหน่งใดหนึ่งคือ 0.016 J พลังงานศักย์ที่ตำแหน่งนั้นคือ ____ J
ผลรวมเป็นค่าคงที่ ดังนั้นพลังงานศักย์จึงเท่ากับพลังงานรวมลบด้วยพลังงานจลน์ การลบนี้รวดเร็วและปลอดภัยกว่าการใช้สูตรแยกต่างหาก
ตัวอย่างวิธีทำ: อ่านกราฟพลังงาน
- วาดกราฟแสดง how พลังงานจลน์ พลังงานศักย์ และพลังงานรวมของตัวสั่นที่ไม่มีการลดทอนแปรผันตามตำแหน่ง.
- พลังงานจลน์: สูงสุดที่ $x = 0$, ลดลงเป็นศูนย์ที่ $x = \pm x_0$, เป็นพาราโบลาคว่ำ
- พลังงานศักย์: ศูนย์ที่ $x = 0$, เพิ่มขึ้นสู่ค่าสูงสุดที่ $x = \pm x_0$, เป็นพาราโบลาหงาย และเป็นภาพสะท้อนของเส้นแรก
- รวม: เป็น เส้นแนวนอน ที่ค่าของค่าสูงสุดใดค่าหนึ่ง เนื่องจากเส้นโค้งทั้งสองบวกกันได้จำนวนเท่าเดิมเสมอ
- ตามแกน เวลา แทนที่จะเป็นตำแหน่ง เส้นโค้งทั้งสองยังคงมีรูปร่างคล้ายพาราโบลาในแง่ของพลังงาน แต่ตอนนี้สั่นที่ความถี่ สองเท่า ของตำแหน่ง เนื่องจากยอดพลังงานเกิดสองครั้งต่อรอบ
จับคู่พลังงานแต่ละชนิดของระบบสั่นแบบไม่มีการหน่วงกับกราฟตามการกระจัด
พาราบolas ทั้งสองเป็นภาพสะท้อนกัน จึงบวกกันได้ค่าเดียวกันที่ทุกการกระจัด เส้นราบนั้นคือการอนุรักษ์พลังงานที่แสดงออกมา
เมื่อพล็อตเทียบกับเวลา พลังงานจลน์ของระบบสั่นจะซ้ำด้วยความถี่เป็นสองเท่าของการกระจัด
ระบบสั่นผ่านจุดกึ่งกลางสองครั้งต่อรอบ ทำให้พลังงานจลน์สูงสุดสองครั้งต่อรอบ ในขณะที่การกระจัดสูงสุดเพียงครั้งเดียว
พลังงานตามเวลามีความถี่เป็นสองเท่า
- วาดกราฟตำแหน่งเทียบกับเวลา จะได้หนึ่งรอบต่อหนึ่งคาบ วาดกราฟ พลังงานจลน์ เทียบกับเวลา จะได้ สอง รอบ
- สาเหตุคือกำลังสอง พลังงานจลน์ขึ้นอยู่กับ $v^2$, และ $v$ ผ่านขนาดสูงสุด สองครั้ง ในแต่ละรอบ ครั้งละทิศทางหนึ่ง
- ดังนั้นเส้นโค้งพลังงานทั้งสองจึงมียอดสูงสุด สองครั้ง ต่อการสั่นหนึ่งรอบ และความ ถี่ของ他们是สองเท่า ของตำแหน่ง
- เส้นโค้งทั้งสองเป็นภาพสะท้อนกันโดยสมบูรณ์เกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของพลังงานรวม และ ผลรวมของ他们是เส้นแนวนอน ที่ระดับพลังงานรวม
- ข้อวาดกราฟในที่นี้ให้คะแนนจากสามสิ่ง: ความถี่ที่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า, เส้นโค้งทั้งสอง lệchเฟสกันครึ่ง คาบ ของตัวเอง, และพลังงานรวมที่เป็นเส้นราบ
พลังงานจลน์ของระบบสั่นแปรผันด้วยความถี่เป็นสองเท่าของการกระจัด
KE ขึ้นอยู่กับ v² และความเร็วสูงสุดสองครั้งต่อรอบ ครั้งละทิศทางหนึ่ง พลังงานศักย์ก็ทำเช่นเดียวกัน และทั้งสองบวกกันเป็นเส้นราบ
คะแนนที่หลุดหายไป
- พลังงานแปรผันตรงกับ แอมพลิจูดกำลังสอง การเพิ่มแอมพลิจูดเป็นสองเท่าจะได้พลังงาน สี่เท่า ไม่ใช่สองเท่า
- พลังงานจลน์สูงสุดที่ จุดศูนย์กลาง, พลังงานศักย์สูงสุดที่ จุดสุดขั้ว อย่าสลับกัน
- ตามแกน เวลา เส้นโค้งพลังงานจะซ้ำด้วยความถี่ สองเท่า ของตำแหน่ง เนื่องจากมียอดพลังงานสองครั้งต่อการสั่นหนึ่งรอบ
- พลังงานรวมจะคงที่ก็ต่อเมื่อไม่มี การลดทอน เท่านั้น บอกให้ชัดเจนเมื่อโจทย์กล่าวถึงแรงต้านทาน
คุณเข้าใจแล้ว
- พลังงานจลน์สูงสุดที่ จุดศูนย์กลาง และเป็นศูนย์ที่ จุดสุดขั้ว; พลังงานศักย์ทำตรงกันข้าม และทั้งสองแลกเปลี่ยนกันสองครั้งต่อรอบ
- เมื่อไม่มี การลดทอน พลังงานรวมจะคงที่: $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, คำนวณได้ง่ายที่สุดที่จุดศูนย์กลางซึ่งทั้งหมดเป็นพลังงานจลน์
- ตามตำแหน่ง พลังงานทั้งสองเป็นพาราโบลาที่สวนทางกันwhoseผลรวมเป็นเส้นแนวนอน
- $E \propto x_0^2$: เพิ่มแอมพลิจูดเป็นสองเท่า พลังงานเพิ่มขึ้นสี่เท่า