การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
| English | ไทย |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | การกระจัด |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | จุดดุลยภาพ |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | แอมพลิจูด |
| period/ˈpɪərɪəd/ | รอบ |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | ความถี่ |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | ความถี่เชิงมุม |
โคมไฟที่สอนโลกให้รักษาเวลา
- ในปี ค.ศ. 1583 นักเรียนคนหนึ่งในวิหารปีซา ซึ่งเบื่อหน่ายระหว่างคำเทศนา ได้วัดเวลาของโคมไฟที่แกว่งไปมาโดยเทียบกับจังหวะการเต้นของหัวใจของเขา ไม่ว่าโคมไฟจะแกว่งกว้างหรือแคบ การแกว่งแต่ละครั้งก็ใช้เวลาเท่ากัน
- สิ่งนี้ไม่ชัดเจนและไม่เป็นจริงสำหรับการเคลื่อนที่ส่วนใหญ่ มันจะเป็นจริงเมื่อแรงคืนตัวเพิ่มขึ้นตาม อัตราส่วน กับระยะที่วัตถุถูกกระจัดออกไป และเงื่อนไขเดียวนี้คือนิยามของหัวข้อทั้งหมด
- การสังเกตของกาลิเลโอได้กลายเป็นนาฬิกาลูกตุ้ม และนาฬิกาสำหรับอีก 300 ปีถัดมา
- บทเรียนนี้คือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก: สมการที่กำหนด其特征, คำศัพท์ที่ใช้บรรยายมัน以及如何读取 $\omega$ จากกราฟ。
นิยาม
- วัตถุเคลื่อนที่ด้วยการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเมื่อความเร่งมีค่า แปรผันตรงกับระยะกระจัด จากจุดอ้างอิง และชี้ เข้าหา จุดนั้นเสมอ
- ทั้งสองส่วนจำเป็นสำหรับคะแนนเต็ม "แปรผันตรงกับระยะกระจัด" เพียงอย่างเดียวสามารถอธิบายแรงที่ผลักมันไปไกลขึ้นได้ด้วยเหมือนกัน
- ในสัญลักษณ์—with the minus sign carrying "towards the equilibrium position":
กระจัดไปทางขวา ความเร่งไปทางซ้าย; กระจัดไปทางซ้าย ความเร่งไปทางขวา
ในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเส้น ความเร่งคือ:
นี่คือ $a = -\omega^{2}x$ พอดี — การกระจัดมากแรงดึงกลับก็มาก; เสมอเข้าสู่กึ่งกลาง
คำจำกัดความเต็มของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายต้องการข้อใด? เลือก ทุก ข้อที่เกี่ยวข้อง
สองข้อนั้นคือคำจำกัดความและนำคะแนนมาทั้งสองข้อ การคาบคงที่เป็นผลตามมา ส่วนความเร็วแน่นอนว่าไม่คงที่
คำศัพท์เฉพาะ
- ระยะกระจัด $x$: ระยะจากตำแหน่ง สมดุล พร้อมทิศทาง แอมพลิจูด $x_0$: ระยะกระจัดสูงสุด
- คาบ $T$: เวลาสำหรับการสั่นหนึ่งรอบเต็ม ความถี่ $f = 1/T$: จำนวนรอบต่อวินาที เป็นเฮิร์ตซ์
- ความถี่เชิงมุม $\omega$: เชื่อมโยงทั้งสองอย่าง $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$给定任何一个 $\omega$、$f$和$T$，你可以找到其他两个，并且大多数问题都从这里开始。
แกว่งลูกตุ้มนาฬิกา
ตั้งให้แกว่ง แล้วเปลี่ยนมุมเริ่มต้น — เวลาสำหรับการแกว่งครั้งเดียวจะคงที่ (นั่นคือเหตุผลที่ทำให้มันเป็นนาฬิกาที่ดี) ตอนนี้ทำให้สายยาวขึ้น หรือย้ายไปดวงจันทร์ และดูคาบเปลี่ยนไป
การสั่นมีคาบ $2.0\ \text{s}$ ความถี่เชิงมุม $\omega$ ของมันคือเท่าไหร่?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
ระยะกระจัดตามเวลา
- เริ่มจากตำแหน่งสมดุลที่ $t = 0$: $x = x_0 \sin(\omega t)$. เริ่มจากจุดสุดขั้ว: $x = x_0 \cos(\omega t)$.
- คุณเลือกใช้สมการใดขึ้นอยู่กับว่า運動从哪里开始。选择前请阅读题目的初始条件。
- กราฟเป็น曲线振幅为$x_0$且周期为$T$的运动完全重复。
一个周期，一个完整循环，然后再次相同
速度在任何位置
- 在位移$x$处的速度，无需知道时间：
- 在中心处，$x = 0$，这给出最大速度$v_{\text{max}} = \omega x_0$。在极值处，$x = \pm x_0$，它给出零。
- 这是需要记住的模式：中间最快，两端瞬间静止，而加速度相反，中间为零，两端最大。
ใน SHM ความเร็วมากที่สุดที่ตำแหน่ง ____
ที่กึ่งกลางพลังงานทั้งหมดเป็นพลังงานจลน์ ดังนั้นความเร็วจึงสูงสุด ($v = \omega x_0$)
ที่ขอบเขตของการเคลื่อนที่ ($x = \pm x_0$), ความเร็วเป็นศูนย์
ตัวสั่นหยุดนิ่งชั่วขณะที่ปลายแต่ละข้างก่อนจะเปลี่ยนทิศทาง — ความเร็วเป็นศูนย์ ความเร่งสูงสุด
ตัวสั่นมีแอมพลิจูด $0.10\ \text{m}$ และ $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ ความเร็วสูงสุดของมันคือเท่าไหร่?
ความเร็วสูงสุด $= \omega x_0 = 10 \times 0.10 = 1.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
จับคู่ปริมาณแต่ละชนิดกับตำแหน่งที่它在 oscillation ใหญ่ที่สุด
ความเร็วและความเร่งสูงสุดที่ตำแหน่งตรงกันข้าม และพวกมันไม่เคยสูงสุดพร้อมกันในวินาทีเดียว
例题：从周期到最大速度
- 质量以周期$2.0\ \text{s}$和振幅$0.10\ \text{m}$振动。求其最大速度和最大加速度。
- 首先计算$\omega$：$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = 3.14\ \text{rad/s}$。几乎每个简谐运动问题都从这里开始。
- 最大速度出现在中心：$v_{\text{max}} = \omega x_0 = 3.14 \times 0.10 = 0.31\ \text{m/s}$。
- 最大加速度出现在极值处：$a_{\text{max}} = \omega^2 x_0 = 3.14^2 \times 0.10 = 0.99\ \text{m/s}^2$。
- 注意每个最大值出现的位置。询问“在什么位移”的问题，速度对应中心，加速度对应极值。
การสั่นมีคาบ 2.0 s และแอมพลิจูด 0.10 m ความเร็วสูงสุด它在 m/s คือเท่าไหร่?
omega = 2 pi / T = 3.14 rad/s, และ v_max = omega x0 = 0.31 m/s, ซึ่งเกิดขึ้นที่ศูนย์กลาง ความเร่งสูงสุดที่ปลาย那边, เป็น omega สี่เหลี่ยมคูณ x0 = 0.99 m/s^2
读取加速度-位移图
- 因为$a = -\omega^2 x$，加速度对位移的图是一条通过原点的直线，斜率为负。
- 斜率是$-\omega^2$，所以$\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$，然后$T = 2\pi/\omega$。
- 这是考试给你$\omega$而不直接说明的标准方式。通过原点且斜率为负的直线也是要求你证明运动是简谐运动的标准方式。
直线、过原点、负斜率：三者皆重要
บนกราฟความเร่งเทียบกับระยะการกระจัดสำหรับ SHM, ความชันเท่ากับ:
$a = -\omega^{2}x$ เป็นเส้นตรงที่มีความชัน $-\omega^{2}$, ดังนั้น $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$
例题：它是简谐运动吗？
- 在不同位移下测量小车的加速度得到一条通过原点且斜率为$-25\ \text{/s}^2$的直线。证明该运动是简谐运动并求周期。
- 图是直线，所以$a \propto x$；它通过原点，所以没有常数项；且其斜率为负，所以加速度指向平衡位置。这三个事实就是定义，因此该运动是简谐运动。
- 斜率是$-\omega^2 = -25$，所以$\omega = 5.0\ \text{rad/s}$和$T = \dfrac{2\pi}{5.0} = 1.3\ \text{s}$。
กราฟความเร่ง-ระยะการกระจัดของตัวสั่นเป็นเส้นตรงผ่านจุดกำเนิดที่มีความชัน -25 ต่อวินาทีสอง What is the period, in seconds?
ความชันคือลบ omega สี่เหลี่ยม, ดังนั้น omega = 5.0 rad/s และ T = 2 pi / 5.0 = 1.3 s เส้นตรง ผ่านจุดกำเนิด และเป็นลบยังเป็นการพิสูจน์ว่าการเคลื่อนที่นั้นเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
คะแนนที่หลุดหายไป
- 定义需要两半部分：与位移成正比且指向固定点。负号承载了第二部分。
- $\omega$的单位是rad s$^{-1}$，不是赫兹。代入前需用$\omega = 2\pi f$进行转换。
- 速度在中心最大；加速度在极值处最大。它们永远不会同时达到最大值。
- 根据运动的起点选择正弦或余弦函数，不要凭习惯。
คุณเข้าใจแล้ว
- SHM：加速度与位移成正比且指向固定点，所以$a = -\omega^2 x$
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$，且几乎所有问题都从计算$\omega$开始
- 从中心取$x = x_0\sin\omega t$或从极值取$x_0\cos\omega t$；$v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$，所以在中心处为$v_{\text{max}} = \omega x_0$，在端点处为$a_{\text{max}} = \omega^2 x_0$
- กราฟแสดงความเร่งต่อตำแหน่งที่เป็นเส้นตรง ผ่านจุดกำเนิด และมีค่าลบ แสดงถึงการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (SHM) และความชันของกราฟคือ $-\omega^2$