แรงสู่ศูนย์กลาง
| English | ไทย |
|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | เส้นสัมผัส |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง |
| centripetal force/senˈtrɪpɪtl fɔːs/ | แรงเข้าสู่ศูนย์กลาง |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ตั้งฉาก |
| tension/ˈtenʃn/ | แรงตึง |
| banked/bæŋkt/ | ทางโค้งเอียง |
ปล่อยแล้วมันพุ่งไปทางอื่น
- ส่ายลูกบอลที่ผูกเชือกให้เป็นวงกลม แล้วปล่อย
- มันพุ่งออกไปใน เส้นตรง — ไม่ใช่ออกด้านนอก แต่ตามแนวสัมผัส
- ดังนั้นขณะที่ยังหมุนอยู่ ต้องมีอะไรบางอย่างดึงมันเข้า ภายใน
ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง
- ความเร็วคงที่แต่ ทิศทาง เปลี่ยนตลอดเวลา หมายความว่าความเร็วเชิงเวกเตอร์เปลี่ยน — ซึ่งเป็นความเร่ง
- ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลาง: $a = \dfrac{v^{2}}{r} = r\omega^{2}$ (และเนื่องจาก $v = r\omega$, จึงมี $a = v\omega$ ด้วย)
แรงสู่ศูนย์กลางและความเร็ว
F = mv²/r
สำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลม แรงที่ต้องการจะเพิ่มขึ้นตาม กำลังสองของความเร็ว — ถ้าเพิ่ม v เป็นสองเท่า แรงจะ增加到สี่เท่า
วัตถุเคลื่อนที่วนเป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่ ก็ยังมีความเร่งอยู่เพราะ:
ความเร็ว vector เป็นเวกเตอร์ แม้ความเร็วสเกลาร์จะคงที่ การเปลี่ยนทิศทางก็ทำให้ความเร็ว vector เปลี่ยนไป — ซึ่งเป็นการความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง
วัตถุเคลื่อนที่วนเป็นวงกลมด้วยความเร็ว $4.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ที่มีรัศมี $2.0\ \text{m}$. จงหาความเร่งสู่ศูนย์กลางของ它有
$a = \dfrac{v^{2}}{r} = \dfrac{4.0^{2}}{2.0} = 8.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
แรงเข้าสู่ศูนย์กลาง
- จาก $F = ma$: $F = \dfrac{mv^{2}}{r} = mr\omega^{2}$, ชี้เข้าหาจุดศูนย์กลาง
- ชัดเจนว่าเป็น ตั้งฉาก กับความเร็วเชิงเวกเตอร์เสมอ ดังนั้นจึง ไม่ทำงาน และความเร็วยังคงที่
เครื่องเล่นในสวนสนุกที่ต้องการแรงสู่ศูนย์กลางเข้าหาจุดศูนย์กลาง
แรงสู่ศูนย์กลางชี้เข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลม
ใช่ — ชี้เข้าสู่ศูนย์กลางเสมอ ตั้งฉากกับความเร็ว vector
วัตถุ $2.0\ \text{kg}$ เคลื่อนที่วนเป็นวงกลมด้วยความเร็ว $4.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ที่มีรัศมี $2.0\ \text{m}$. ต้องใช้แรงสู่ศูนย์กลาง多大?
$F = \dfrac{mv^{2}}{r} = \dfrac{2.0 \times 4.0^{2}}{2.0} = 16\ \text{N}$.
ไม่ใช่แรงใหม่
- "แรงสู่ศูนย์กลาง" ไม่ใช่แรงชนิดใหม่
- มันเป็น ผลรวม ของแรงจริง — ความตึง, แรงโน้มถ่วง, แรงเสียดทาน, และแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก
ความเร็วชี้ตามเส้นสัมผัส; แรงและความเร่งชี้เข้าสู่ศูนย์กลาง
แรงสู่ศูนย์กลางคือ:
มันคือแรงจริงใดๆ ที่ชี้เข้าสู่ศูนย์กลาง — ไม่ใช่แรงแยกต่างหาก
的来源 (ที่มาของแรงนี้)
- ลูกบอลผูกเชือก → ความตึง. รถยนต์เลี้ยวบนถนนราบ → แรงเสียดทาน.
- ดาวเคราะห์หรือดาวเทียม → แรงโน้มถ่วง. ทางโค้งที่เอียง → ส่วนประกอบแนวราบของแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก
บนทางโค้งที่เอียง ส่วนประกอบแนวนอนของแรงจากพื้นให้แรงสู่ศูนย์กลาง
จับคู่การเคลื่อนที่แบบวงกลมแต่ละชนิดกับแรงที่ทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง
สถานการณ์ต่างกัน แรงจริง也不同 — แต่ทุกอย่างชี้เข้าสู่ศูนย์กลางและเป็น $\dfrac{mv^{2}}{r}$
ตัวอย่างการคำนวณ: เลี้ยวด้วยความเร็วเท่าไหร่?
รถ $1200\ \text{kg}$ เลี้ยวโค้งราบรัศมี $50\ \text{m}$. แรงเสียดทานสูงสุดที่ยางสามารถสร้างได้คือ $8200\ \text{N}$.
- แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง: $F = \dfrac{mv^{2}}{r}$, ดังนั้นความเร็วสูงสุดที่ปลอดภัยจะมี $\dfrac{1200\,v^{2}}{50} = 8200$.
- แก้สมการ: $v^{2} = \dfrac{8200 \times 50}{1200} = 342$, ดังนั้น $v = 18\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (ประมาณ $65\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}$).
- โค้ง tighter: ลด $r$ ลงครึ่งหนึ่ง และ $v_{\text{max}}$ จะลดลง $\sqrt{2}$ — แรงที่ต้องการเพิ่มขึ้นตาม $\dfrac{1}{r}$.
- ตรวจสอบ: บนถนนเปียก แรงเสียดทานที่มีจะลดลง ทำให้ความเร็วที่ปลอดภัยก็ลดลงด้วย ซึ่งสอดคล้องกับฟิสิกส์และสิ่งที่ป้ายจราจรสันนิษฐานไว้
รถยนต์ $800\ \text{kg}$ เลี้ยวโค้งราบที่มีรัศมี $40\ \text{m}$. แรงเสียดทานสูงสุดที่มีอยู่คือ $6400\ \text{N}$. ความเร็วสูงสุดที่ปลอดภัยคือเท่าใด, ในหน่วย m/s?
$\dfrac{mv^{2}}{r} = F$, ดังนั้น $v^{2} = \dfrac{6400 \times 40}{800} = 320$ และ $v = 17.9\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
วงกลมแนวตั้ง
- เมื่อหมุนรอบวงแหวนตั้งตรง ความเร็วจะเปลี่ยน (แรงโน้มถ่วงทำงาน)
- ที่ ยอด, น้ำหนักและความตึงชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางทั้งคู่: $T + mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$. ที่ ฐาน ทั้งสองแรงต้านกัน: $T - mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- ความเร็วต่ำสุดที่จุดสูงสุดด้วยเชือกตึงพอดีคือ $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$ (กำหนดแรงตึง $= 0$)
หมุนรอบวงกลมแนวตั้ง แรงโน้มถ่วงช่วยที่ยอดและต้านที่ฐาน — ดังนั้นความตึงของเชือกจะมากที่สุดที่ฐาน
ที่จุดสูงสุดของวงกลมแนวตั้ง ความเร็วต่ำสุด (เชือกตึงพอดี) คือ:
เมื่อแรงตึง $= 0$, แรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียวทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง: $mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$, ดังนั้น $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$
ตัวอย่างการคำนวณ: ความตึงที่ยอดและฐาน
ลูกบอล $0.50\ \text{kg}$ ผูกกับเชือกยาว $1.0\ \text{m}$ หมุนในวงกลมแนวตั้ง ที่ฐานมีความเร็ว $8.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
- ฐาน: $T - mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$, ดังนั้น $T = 0.50 \times 9.81 + \dfrac{0.50 \times 8.0^{2}}{1.0} = 4.9 + 32 = 37\ \text{N}$.
- ความเร็วที่ยอด: การอนุรักษ์พลังงานเมื่อขึ้นสูง $2r$: $v_{\text{top}}^{2} = 8.0^{2} - 2g(2.0) = 64 - 39 = 25$, ดังนั้น $v_{\text{top}} = 5.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- ยอด: $T + mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$, ดังนั้น $T = \dfrac{0.50 \times 25}{1.0} - 4.9 = 12.5 - 4.9 = 7.6\ \text{N}$.
- ตรวจสอบ: ความตึงมากที่ฐาน ซึ่งเป็นจุดที่เชือกมักขาด ที่ยอด $v_{\text{top}} > \sqrt{gr} = 3.1\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, ดังนั้นเชือกยังคงตึงอยู่
ห้ามวาด "แรงสู่ศูนย์กลาง" เป็นลูกศรเสริมในแผนภาพแรง — เพราะมันเป็น ผลรวม ของแรงจริง และไม่มีการออก "แรงเหวี่ยง" ในรายวิชานี้ ที่ ยอด ของวงแหวน น้ำหนัก ช่วย ($T + mg$); ที่ ฐาน มัน ต้าน ($T - mg$). และในวงกลมแนวตั้ง ความเร็ว ไม่ คงที่ ดังนั้นต้องใช้การอนุรักษ์พลังงานในการเคลื่อนย้ายระหว่างยอดและฐาน
ที่จุดสูงสุดของวงกลมแนวตั้ง แรงตึงเชือกจะมีค่าน้อยที่สุด เพราะที่นั่น ____ ของลูกบอลก็ชี้เข้าสู่ศูนย์กลางด้วย
ที่จุดสูงสุด $T + mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$: น้ำหนักช่วยแบ่งเบาแรงสู่ศูนย์กลาง一部分 ทำให้เชือกต้องออกแรงน้อยลง
คุณเข้าใจแล้ว
- การเคลื่อนที่วงกลมต้องการความเร่งเข้าด้านใน (สู่ศูนย์กลาง) $a = \dfrac{v^{2}}{r} = r\omega^{2} = v\omega$
- แรงสู่ศูนย์กลาง $F = \dfrac{mv^{2}}{r}$ — ผลรวมของแรงจริง, เข้าหาจุดศูนย์กลาง; ไม่ทำ功
- วงแหวนแนวตั้ง: $T + mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$ ที่ยอด, $T - mg = \dfrac{mv^{2}}{r}$ ที่ฐาน; $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$ ที่ยอด (ความเร็วต่ำสุด)