การเคลื่อนที่วงกลมและความเร็วเชิงมุม
| English | ไทย |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | เรเดียน |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | ความยาวส่วนโค้ง |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | ความเร็วเชิงมุม |
| period/ˈpɪərɪəd/ | รอบ |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | ความถี่ |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | แนวสัมผัส |
| linear speed/ˈlɪnɪə spiːd/ | ความเร็วเชิงเส้น |
ล้อหมุน
- ม้าสองตัวบนล้อหมุนวนรอบเดียวกันทั้งหมดพร้อมกัน
- แต่ม้าที่อยู่ด้านนอกเคลื่อนที่ เร็ว กว่าม้าด้านในอย่างชัดเจน
- ความสัมพันธ์ระหว่าง "การวนรอบ" กับ "ความเร็ว" คือสิ่งที่เรากำลังศึกษาในที่นี้
มุมในหน่วยเรเดียน
- เรเดียน คือมุมที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี: $\theta = \dfrac{s}{r}$.
- วงกลมเต็มวงคือ $2\pi\ \text{rad}$. (ตั้งเครื่องคิดเลขไว้ที่โหมด เรเดียน สำหรับหัวข้อนี้)
รถเหาะ: แต่ละคันเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่
ความเร็วเชิงมุม
s = rθ
ความเร็วเชิงมุมเปลี่ยน มุม ต่อเวลา; ความยาวส่วนโค้ง s = rθ
หนึ่งเรเดียนคือมุมที่ความยาวส่วนโค้งเท่ากับ:
$\theta = \dfrac{s}{r}$, ดังนั้นเมื่อส่วนโค้ง $s$ เท่ากับรัศมี $r$, มุมจะพอดีหนึ่งเรเดียน
วงกลมเต็มมีเรเดียนทั้งหมดกี่หน่วย?
วงกลมเต็มมีความยาวส่วนโค้ง $s = 2\pi r$, ดังนั้น $\theta = \dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6.28\ \text{rad}$
จับคู่แต่ละคำศัพท์กับนิยามที่กรรมการให้คะแนน
การนิยามเรเดียนเป็น 180/pi องศา หรือโดยใช้สูตร theta = s/r จะไม่ได้รับคะแนน คำที่ถูกต้องคือ "ส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมี"
ความเร็วเชิงมุม
- ความเร็วเชิงมุม $\omega$ คืออัตราการเปลี่ยนของมุม: $\omega = \dfrac{\theta}{t}$.
- หน่วย: $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
หนึ่งเรเดียนคือมุมที่มีความยาวส่วน弧เท่ากับรัศมี
Period และ Frequency
- การวนรอบหนึ่งครั้งใช้เวลา Period $T$, ดังนั้น $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
- $f = \dfrac{1}{T}$ คือจำนวนรอบต่อวินาที (Hz).
เมื่อรัศมีหมุนผ่านมุม วัตถุเคลื่อนที่ตามส่วนโค้งด้วยความเร็ว v
วัตถุหมุนครบหนึ่งรอบทุก $2.0\ \text{s}$. ความเร็วเชิงมุมของวัตถุนั้นคือเท่าใด?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
ความเร็วเชิงมุมเท่ากับ $2\pi$ หารด้วย ____.
$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ — การหมุนเต็มวง ($2\pi$) หารด้วยเวลาสำหรับการหมุนหนึ่งรอบ
ความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม
- ความเร็วจริง (ความเร็วด้านสัมผัส) คือ $v = r\omega$.
- มี $\omega$ เดียวกัน แต่ $r$更大 → $v$更大 — นี่คือเหตุผลที่ม้าด้านนอกเร็วกว่า
จุดอยู่ที่รัศมี $0.50\ \text{m}$ หมุนด้วยความเร็ว $\omega = 4.0\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. ความเร็วเชิงเส้นของจุดนั้นคือเท่าใด?
$v = r\omega = 0.50 \times 4.0 = 2.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
บนรถหมุน ม้าที่อยู่ห่างจากศูนย์กลางมากกว่าจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงเส้นที่สูงกว่า
มีความเร็วเชิงมุม $\omega$ เท่ากัน แต่ $v = r\omega$, ดังนั้นรัศมีที่ใหญ่กว่าจะให้ความเร็วเชิงเส้นที่ใหญ่กว่า
ล้อหมุนครบหนึ่งรอบทุก 4.0 วินาที. ความเร็วเชิงมุมของล้อนั้นคือเท่าใด, ในหน่วย rad/s?
omega = 2 pi / T = 1.57 rad/s. สูตรทั้งหมดในหัวข้อนี้สมมติว่าเป็นเรเดียน ดังนั้นการใช้เครื่องคิดเลขในโหมดองศาจะทำให้ v = r omega ผิดพลาดโดยไม่มีการแจ้งเตือน
อธิบายการเคลื่อนที่วงกลมสม่ำเสมอ
- การสอบต้องการคำตอบ "ในเทอมของความเร็วและความเร่ง" ให้กล่าวถึงสามสิ่งนี้:
- ความเร็ว มีค่าคงที่ แต่ ความเร็วเชิงเวกเตอร์ ไม่คงที่ — ชี้ไปตามแนวสัมผัสและมี ทิศทางเปลี่ยนตลอดเวลา;
- ความเร่ง มีขนาดคงที่และชี้เข้าหา จุดศูนย์กลาง เสมอ ตั้งฉากกับความเร็วเชิงเวกเตอร์
ข้อใดบ้างอธิบายวัตถุที่เคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอได้ถูกต้อง? เลือกทุกข้อที่เกี่ยวข้อง
ความเร็วมีค่าคงที่แต่ความเร็ว vector เปลี่ยนทิศทางตลอดเวลา จึงมีความเร่ง — ซึ่งมีขนาดคงที่และชี้เข้าสู่ศูนย์กลางเสมอ
ในการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ ข้อใดมีค่าคงที่? เลือก ทุก ข้อที่เกี่ยวข้อง
ความเร็ว vector เปลี่ยนทิศทางอย่างต่อเนื่อง ซึ่งเป็นเหตุผลที่มีความเร่งเกิดขึ้น แรง所做的功เป็นศูนย์ ดังนั้นพลังงานจลน์จึงไม่เปลี่ยนแปลง
ตัวอย่างวิธีทำ: ยืนนิ่งแต่เคลื่อนที่เร็ว
.cambridge อยู่ละติจูด $52.2^\circ$ บนโลกที่มีรัศมี $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ หมุนรอบตัวเองวันละหนึ่งรอบ หารัศมีของวงกลมที่ cambridge เวนรอบ ความเร็วของมัน และแรงลัพธ์ที่กระทำต่อนักเรียนน้ำหนัก $60\ \text{kg}$ ที่จำเป็นสำหรับการเคลื่อนที่นี้
- รัศมีของวงกลม: เมืองหมุนรอบ แกน ของโลก ไม่ใช่จุดศูนย์กลางโลก ดังนั้น $r = R\cos 52.2^\circ = 6.37 \times 10^{6} \times 0.613 = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- ความเร็วเชิงมุม: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} = 7.27 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- ความเร็ว: $v = r\omega = 3.90 \times 10^{6} \times 7.27 \times 10^{-5} = 284\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- แรงลัพธ์: $F = mr\omega^{2} = 60 \times 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 1.2\ \text{N}$, ชี้เข้าหาแกน
- ตรวจสอบ: เป็นแรงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับน้ำหนัก $590\ \text{N}$ ของนักเรียน — นั่นคือเหตุผลที่เราไม่รู้สึกถึงการหมุน แม้ว่าจะเคลื่อนที่เร็วกว่าเครื่องบินเจทก็ตาม
$\omega$ ต้องอยู่ในหน่วย เรเดียนต่อวินาที. รอบต่อนาทีแปลงเป็น $\dfrac{\text{rpm} \times 2\pi}{60}$; การวนรอบหนึ่งเต็มวงคือ $2\pi$ ในทุกสูตรข้างต้น ไม่ใช่ $360$. $r$ ใน $v = r\omega$ อยู่ในหน่วย เมตร. และ period คือเวลาสำหรับการ วนรอบหนึ่งรอบสมบูรณ์ ไม่ใช่ครึ่งรอบหรือการแกว่ง
ดอกสว่านหมุน $3000$ รอบต่อนาที. ความเร็วเชิงมุมของ它有คือเท่าใด, ในหน่วย rad/s?
$3000$ รอบต่อนาที คือ $50$ ต่อวินาที; แต่ละรอบคือ $2\pi$ เรเดียน, ดังนั้น $\omega = 50 \times 2\pi = 314\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$
ตัวเลขเพื่อให้เห็นภาพ
- จီดีที่ $500$ รอบต่อนาที: $\omega = \dfrac{500 \times 2\pi}{60} = 52\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
- ล้อรถยนต์รัศมี $0.30\ \text{m}$ ที่ $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$: $\omega = \dfrac{v}{r} = 67\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, ประมาณ $11$ รอบต่อวินาที
- โลก: วนรอบหนึ่งครั้งใน $86\,400\ \text{s}$, ดังนั้น $\omega = 7.3 \times 10^{-5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ — มุมช้าแต่ขอบเร็ว
คุณเข้าใจแล้ว
- หนึ่งเรเดียน: $\theta = \dfrac{s}{r}$; วงกลมเต็มวงคือ $2\pi\ \text{rad}$
- ความเร็วเชิงมุม $\omega = \dfrac{\theta}{t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (rad/s — แปลงจาก rpm)
- ความเร็วเชิงเส้น $v = r\omega$ (รัศมีใหญ่ขึ้น → เร็วขึ้น); การเคลื่อนที่วงกลมสม่ำเสมอ: ความเร็วคงที่, ความเร็วเชิงเวกเตอร์เปลี่ยน, ความเร่งเข้าหาจุดศูนย์กลาง