การหาอินทิกรัล (Pure 2)

คำศัพท์

English	ความหมาย
integral/ˈɪntɪɡrəl/	อินทิกรัล
exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/	ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	สมการเชิงอนุพันธ์
trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/	กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
strip/strɪp/	แถบ
estimate/ˈestɪmət/	ค่าประมาณ
identity/aɪˈdentɪti/	เอกลักษณ์

พื้นที่ที่ eˣ ไม่สามารถหลบหนีได้

อินทิกรัลของ $e^x$ คือ $e^x$ — ฟังก์ชันเดียวกัน คุณสมบัติการอ้างอิงตัวเองนี้ทำให้ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นศูนย์กลางของสมการเชิงอนุพันธ์
เทคนิคการอินทิเกรตช่วยให้คุณสามารถหาพื้นที่, ปริมาตร, และการแก้ปัญหาในโลกจริง

$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,$$

$$\int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C.$$

Example

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. ค่า $\dfrac{1}{3}$ มาจากกฎลูกโซ่ในทางกลับ

Watch out

อย่าลืม $\dfrac{1}{a}$. เมื่ออินทิเกรต $e^{ax+b}$ คุณต้องหารด้วย $a$. อินทิกรัลของ $e^{2x}$ คือ $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, ไม่ใช่ $e^{2x}$.

*กฎทรงสี่เหลี่ยมคางหมูเพิ่มแถบด้านบนตรงกว้าง h เพื่อประมาณพื้นที่

สำรวจ

area = ∫ f(x) dx

อินทิกรัลยังคงวัด พื้นที่ — ลาก a และ b เพื่อรวมแถบใต้กราฟ

ฝึกฝน

∫ eˣ dx มีค่าเท่าไร?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

∫ (1/x) dx มีค่าเท่าไร?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. ค่าของ a คืออะไร?

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. แทนค่าจาก 0 ถึง π/6 (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ในการอินทิเกรตกำลังของ $\sin$/$\cos$, ใช้ identity เพื่อลบกำลังออกก่อน
ตัวอย่าง: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, ดังนั้น $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$

$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + \cdots + y_{n-1})\big]$$

กฎทรงสี่เหลี่ยมคางหมู: แบ่งพื้นที่เป็นแถบ, ประมาณแต่ละแถบเป็นทรงสี่เหลี่ยมคางหมู, และรวมพื้นที่ของพวกมัน

ฝึกฝน

กฎสี่เหลี่ยมคางหมูประมาณค่าอินทิกรัล_examples เมื่อหาค่าได้ไม่ตรง

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย h = 1 ประมาณค่า ∫₁³ x² dx ด้วยค่า y คือ 1, 4, 9

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ประมาณ $\int_1^4 x^2\,dx$ โดยใช้ 3 แถบ ($h = 1$)
ค่า $y$-values: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$
$\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
ค่าที่แท้จริง: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. ค่าประมาณอยู่ใกล้
การอินทิเกรตคือ หาอนุพันธ์ในทางกลับ; การอินทิเกรตที่ซับซ้อนใช้ การอินทิเกรตด้วยการแทนที่

Key idea

$\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
ลบกำลังของ $\sin$/$\cos$ ด้วย identity ก่อนทำการอินทิเกรต
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู ใช้ประมาณค่าอินทิกรัลโดยรวมพื้นที่แถบสี่เหลี่ยมคางหมู