วิธีแก้สมการเชิงตัวเลข
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| root/ruːt/ | ราก |
| numerical method/njuːˈmerɪkl ˈmeθəd/ | วิธีคำนวณเชิงตัวเลข |
| accuracy/ˈækjʊrəsi/ | ความแม่นยำ |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | การเปลี่ยนเครื่องหมาย |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | การซ้ำซ้อน |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | ลู่เข้า |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | สูตรซ้ำซ้อน |
| rearrangement/ˌriːəˈreɪndʒmənt/ | การจัดรูปใหม่ |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | ลู่แยก |
รากที่มองไม่เห็น
- บางสมการไม่มีคำตอบทางพีชคณิตที่整洁 $x^3 + x - 1 = 0$ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้
- แต่คุณทราบว่ามีรากอยู่ระหว่าง $0$ และ $1$ เพราะฟังก์ชันมีการเปลี่ยนเครื่องหมาย วิธีเชิงตัวเลขช่วยให้หาค่านี้ได้ด้วยความแม่นยำตามต้องการ
การหาตำแหน่งของราก
- สมการหลายชนิดแก้ได้ไม่ตรงตัว ราก คือคำตอบหนึ่ง
- การเปลี่ยนเครื่องหมาย: ถ้า $f(a)$ และ $f(b)$ มี เครื่องหมายตรงกันข้าม (และไม่มีจุดขาดในระหว่างนั้น) จะมีรากอยู่ระหว่าง $a$ และ $b$
ตัวอย่างวิธีทำ. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (ลบ), $f(1) = 1$ (บวก). การเปลี่ยนเครื่องหมาย → รากอยู่ระหว่าง $0$ และ $1$.
การเปลี่ยนเครื่องหมายไม่ได้รับประกันว่ารากมีเพียงหนึ่ง อาจมี 3 ราก (หรือจำนวนคี่ใดๆ) ระหว่าง $a$ และ $b$ การเปลี่ยนเครื่องหมายบ่งชี้เพียงว่าต้องมี อย่างน้อยหนึ่ง รากเท่านั้น
Iterative: ก้าวขึ้นสู่เส้นโค้งแล้วข้ามไปหา y = x; ขั้นตอนเหล่านี้จะลู่เข้าหาที่ราก
รากอยู่ที่ไหน?
y = ax³ + bx² + cx + d
ราก คือจุดที่กราฟตัดแกนศูนย์ การเปลี่ยนเครื่องหมาย ของ f(x) บ่งบอกว่ามีรากอยู่ระหว่างค่า x สองค่า
ถ้า f(a) และ f(b) มีเครื่องหมายตรงข้าม (และ f ต่อเนื่องระหว่างจุดนั้น) ระหว่าง a และ b จะมี:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเปลี่ยนเครื่องหมายของฟังก์ชันต่อเนื่องรับประกันว่ามีรากระหว่าง a และ b
f(x) = x³ + x − 1. f(0) = −1 และ f(1) = 1. รากอยู่ระหว่างจำนวนเต็มสองค่าใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
มีการเปลี่ยนเครื่องหมายระหว่าง 0 และ 1 (f(0) < 0, f(1) > 0), ดังนั้นรากอยู่ระหว่าง 0 และ 1
การทำซ้ำ
- จัดรูปสมการให้อยู่ในรูป $x = F(x)$
- ใช้ สูตรการทำซ้ำ $x_{n+1} = F(x_n)$ โดยเริ่มจากค่าเริ่มต้น $x_0$
- หากค่าต่างๆ ค่อนข้างตัว จะ ลู่เข้า ที่ราก ให้ทำต่อไปจนได้ความแม่นยำที่ต้องการ
Iterative: เริ่มจาก $x_0$ แต่ละขั้นตอนใช้ $F$ และสะท้อนผ่าน $y = x$ กราฟแบบตาข่ายแมงมุมจะหมุนเข้าสู่จุดคงที่ — ซึ่งก็คือราก
สูตรการทำซ้ำมีรูปแบบดังนี้:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การทำซ้ำนำ x_{n+1} = F(x_n) มาใช้ซ้ำๆ จากค่าเริ่มต้นแรก
ถ้าค่าการทำซ้ำเข้าใกล้จำนวนคงที่ แสดงว่าลู่เข้าสู่รากแล้ว
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การลู่เข้าหมายความว่าลำดับเข้าใกล้ค่าคงที่ — ซึ่งเป็นรากของสมการ
ใช้ x_{n+1} = ∛(1 − x_n) โดย x₀ = 0, ค่าของ x₁ (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x₁ = ∛(1 − 0) = ∛1 = 1.
ตัวอย่างวิธีทำ — การทำซ้ำ
- แก้ $x^3 + x - 1 = 0$ โดยใช้ $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$ เริ่มต้นจาก $x_0 = 0.5$
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- ค่าต่างๆ ลู่เข้าหา $x \approx 0.682$
การทำซ้ำ x_{n+1} = F(x_n) จะลู่เข้าเสมอไม่ว่าจะเริ่มจากค่าใดก็ตาม
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การลู่เข้าจำเป็นต้องมี |F′(x)| < 1 Near ราก การจัดรูปที่ไม่ดีหรือค่าเริ่มต้นที่ไม่เหมาะสมอาจทำให้ลู่เข้าไม่ได้
การเลือกการจัดรูปใหม่
- ไม่ใช่ทุกการจัดรูปจะลู่เข้า การทำซ้ำ $x_{n+1} = F(x_n)$ จะลู่เข้าเมื่อ $|F'(x)| < 1$ อยู่ใกล้กับราก
- หากลู่ออก (ค่าเคลื่อนที่ห่างออกไป) ลองจัดรูปอื่นแทน
คุณเข้าใจแล้ว
- การเปลี่ยนเครื่องหมาย ของ $f$ ระหว่าง $a$ และ $b$ จะกักขัง ราก ไว้ในระหว่างนั้น
- การทำซ้ำ: $x_{n+1} = F(x_n)$ จากค่าเริ่มต้น
- ถ้าค่าต่างๆ ลู่เข้า (นิ่งลง) จะเข้าใกล้ราก
- การลู่เข้าต้องให้ $|F'(x)| < 1$ อยู่ใกล้ราก