การหาอนุพันธ์ (Pure 2)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | อนุพันธ์มาตรฐาน |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | กฎผลหาร |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | กฎผลคูณ |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | แบบพารามิเตอร์ |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | แบบซ่อน |
อนุพันธ์ที่ไม่เคยเปลี่ยน
- ฟังก์ชัน $e^x$ เป็น独一无二的: อนุพันธ์ของมันคือตัวมันเอง ไม่มีฟังก์ชันอื่นใดมีคุณสมบัตินี้
- สิ่งนี้ทำให้ $e^x$ เป็นรากฐานของโมเดลการเติบโต, การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี, และดอกเบี้ยทบต้น
อนุพันธ์มาตรฐาน
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. $y = e^{3x}$. โดยใช้กฎลูกโซ่: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$
ความชันที่จุดหนึ่ง
gradient = dy/dx
เลื่อนจุด — ความชันของ เส้นสัมผัส คือ อนุพันธ์ แม้กับฟังก์ชันมาตรฐานใหม่เหล่านี้ก็ตาม
อนุพันธ์ของ ln x คือ 1/x. มีค่าเท่าไรเมื่อ x = 4?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25.
อนุพันธ์ของ eˣ คือ eˣ. มีค่าเท่าไรเมื่อ x = 0?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(eˣ) = eˣ, และ e⁰ = 1.
ถ้า y = e^(3x) แล้ว dy/dx = 3e^(3x). ค่าของ dy/dx ที่ x = 0 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่ x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3.
กฎคูณและกฎหาร
- กฎคูณ: $(uv)' = u'v + uv'$
- กฎหาร: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
กฎคูณ: เมื่อทั้ง $u$ และ $v$ เปลี่ยนแปลง อัตราการเปลี่ยนแปลงรวมจะมีสองพจน์ — พจน์หนึ่งสำหรับแต่ละฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงในขณะที่อีกฟังก์ชันคงที่
อย่าลืมกฎคูณ. อนุพันธ์ของ $uv$ ไม่ใช่ $u'v'$ คุณต้องใช้ $(uv)' = u'v + uv'$. นี่คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในการหาอนุพันธ์
กฎผลคูณระบุว่า (uv)′ เท่ากับ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′.
กฎผลหารสำหรับ (u/v)′ คือ (u′v + uv′)/v².
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎผลหารคือ (u′v − uv′)/v² (เป็นลบ ไม่ใช่บวกในตัวเศษ)
การหาอนุพันธ์แบบพารามิเตอร์และแบบนิรนาม
- แบบพารามิเตอร์: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$
- แบบนิรนาม: หาอนุพันธ์ทุกพจน์ใน $x$, ใช้กฎลูกโซ่กับพจน์ $y$, แล้วแก้หา $\dfrac{dy}{dx}$
ถ้า x = t² และ y = t³ แล้ว dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. ที่ t = 4, dy/dx = ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่ t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6.
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว — กฎคูณ
- $y = x^2 \sin x$. ให้ $u = x^2$, $v = \sin x$
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
คุณเข้าใจแล้ว
- เรียนรู้: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- กฎคูณ $(uv)' = u'v + uv'$; กฎหาร $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- แบบพารามิเตอร์: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; แบบนิรนาม: ใช้กฎลูกโซ่กับพจน์ $y$