ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | การกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันสร้าง概率母函数 (probability generating function) |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์ |
| variance/ˈveərɪəns/ | ความแปรปรวน |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | เป็นอิสระ |
ฟังก์ชันเดียวในการแสดงการแจกแจง
- การแจกแจงแบบดิสครีตคือรายการของความน่าจะเป็น — จัดการยาก
- ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น (PGF) รวมนamed list ทั้งหมดไว้ในฟังก์ชันเดียวที่ gọn gàng เปลี่ยนผลรวมความน่าจะเป็นที่ยากให้เป็นแคลคูลัสที่ง่าย
ห้องปฏิบัติการฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
เปลี่ยน x และดูว่า PGF เก็บความน่าจะเป็นในกำลังของ x อย่างไร
นิยาม PGF
- สำหรับตัวแปรดิสครีต $X$ ที่รับค่า $0, 1, 2, \dots$:
- สัมประสิทธิ์ของ $t^x$ เท่ากับ $P(X = x)$ พอดี — ฟังก์ชันนี้ เข้ารหัส การแจกแจง
ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นเก็บความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็นสัมประสิทธิ์
ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นของ X นิยามโดย:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจากอนุพันธ์
- หาอนุพันธ์แล้วแทนค่า $t = 1$:
ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. จากนั้น $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, ดังนั้น $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
X มี G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t² เนื่องจาก E(X) = G′(1) และ G′(t) = 0.3 + 0.4t ดังนั้น E(X) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
ค่าเฉลี่ยหาได้จาก PGF โดย E(X) = G′(______)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
E(X) = G'(1).
ผลรวมของตัวแปรอิสระ
- คุณสมบัติที่มีประโยชน์ที่สุด: PGF ของ ผลรวมของตัวแปรอิสระ คือ ผลคูณ ของ PGFs ของพวกมัน:
- สิ่งนี้ทำให้การบวกตัวแปรอิสระ (เช่น ผลรวมของลูกเต๋าหลายลูก) ทำได้ง่าย近乎 effortless
สำหรับ PGF ที่ถูกต้องใดๆ ค่าของ G(1) คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
G(1) = Σ P(X=x) = 1 เนื่องจากผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ 1
PGF ของผลบวกของตัวแปรอิสระสองตัวคือผลคูณของ PGF ทั้งสอง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) สำหรับ X และ Y ที่เป็นอิสระ
ตรวจสอบว่าเป็น PGF ที่ถูกต้องหรือไม่
$G(1)$ ต้องเท่ากับ 1. เนื่องจาก $G(1) = \sum P(X = x)$, PGF ที่ถูกต้องจะให้ค่า $G(1) = 1$ เสมอ — เป็นการตรวจสอบเบื้องต้นอย่างรวดเร็วก่อนหาอนุพันธ์
คุณเข้าใจแล้ว
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (และ $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- PGF ของ ผลรวมของตัวแปรอิสระ คือ ผลคูณ ของ PGFs ของพวกมัน