ระบบเลขและการแปลง

เทราไบต์ที่ไม่ได้เป็นเทราไบต์

• ใน 2005 ผู้ใช้แคลิฟอร์เนียซื้อฮาร์ดไดรฟ์ที่มีฉลากว่า 80 GB คอมพิวเตอร์ของเขารายงานค่า 74.5 GB เขาฟ้องร้อง และผู้ผลิตในที่สุดก็จ่ายชดเชย: พวกเขาคิดหนึ่งกิกะไบต์เท่ากับพันล้านไบต์ แต่ระบบปฏิบัติการนับมันเท่ากับ $2^{30}$
• ทั้งสองฝ่ายไม่ได้โกหก มีตัวนำหน้าสองกลุ่ม: กลุ่มหนึ่งสร้างจากกำลังของสิบ และอีกกลุ่มสร้างจากกำลังของสอง ยิ่งตัวเลขมีค่ามากเท่าไร ความแตกต่างระหว่างสองกลุ่มนี้ยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น
• การแทนข้อมูลทั้งหมดขึ้นอยู่กับแนวคิดนี้: คอมพิวเตอร์เก็บเพียงเลข 0 และ 1 เท่านั้น ส่วนสิ่งอื่นๆ ล้วนเป็นการตกลงกันเกี่ยวกับวิธีการอ่านเลขเหล่านั้น
• บทเรียนนี้จะพูดถึงสามระบบเลข การแปลงระหว่างระบบเหล่านี้ และตัวนำหน้าทั้งสองกลุ่ม

ระบบเลขสามแบบ

• เดนารี่ (ฐาน 10) ใช้ตัวเลข 0 ถึง 9 โดยมีตำแหน่งที่มีค่าเป็นกำลังของสิบ เป็นระบบที่ใช้ในชีวิตประจำวัน
• ไบนารี (ฐาน 2) ใช้ 0 และ 1 โดยมีตำแหน่งที่มีค่าเป็นกำลังของสอง ตัวเลขหนึ่งหลักเรียกว่า bit; 4 bit รวมกันเป็น nibble; 8 bit รวมกันเป็น byte
• เฮกซาเดซิมอล (ฐาน 16) ใช้ 0 ถึง 9 ตามด้วย A ถึง F แทนค่า 10 ถึง 15 ตัวเลขเฮกซาเดซิมอลหนึ่งหลักเทียบเท่ากับ 4 bits พอดี นี่คือเหตุผลที่นักเขียนโปรแกรมใช้มันเพื่อเขียนย่อของไบนารี

ทุก系统是ตำแหน่ง; เฉพาะฐานที่แตกต่างกัน

การแปลงจากเดนารี่เป็นไบนารี

• วิธีที่ 1, ตำแหน่ง: เขียนกำลังของสอง, $128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1$, แล้วลบจำนวนที่มากที่สุดที่เข้ากันได้ ทิ้งไว้แล้วทำซ้ำกับส่วนที่เหลือ วางเลข 1 ไว้ใต้จำนวนที่คุณเลือกใช้
• วิธีที่ 2, การหารซ้ำ: หารด้วย 2 ซ้ำแล้วซ้ำอีก เขียนเศษออกแต่ละครั้ง แล้วอ่านเศษจาก ล่างขึ้นบน
• $42 = 32 + 8 + 2$, ดังนั้น bit ใต้ 32, 8 และ 2 คือ 1 และที่เหลือคือ 0: 0010 1010.

ลบกำลังของสองที่มากที่สุดที่เข้ากันได้ และทำซ้ำ

ตัวอย่างวิธีทำ: เดนารี่ 200 ไปเป็นไบนารีและเฮกซาเดซิมอล

ไบนารีและเฮกซาเดซิมอล, ทั้งสองทิศทาง

• Binary to hex: จัดกลุ่มบิตเป็น nibbles จากขวาไปซ้าย เติมศูนย์ที่กลุ่มซ้ายสุดให้ครบ แล้วแปลงแต่ละ nibble 0010 0010 1110 กลายเป็น 2 2 E ดังนั้น 22E
• เฮกไปไบนารี: แทนที่แต่ละตัวเลขเฮกซาเดซิมอลด้วยรูปแบบ 4-bit ของมัน ไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์
• เฮกไปเดนารี่: คูณแต่ละตัวเลขด้วยตำแหน่ง它有, $16^2 = 256$, $16^1 = 16$, $16^0 = 1$. 22E $= 2 \times 256 + 2 \times 16 + 14 = 558$.

ค่าหนึ่งต้องใช้ bit กี่ตัว?

• ข้อสอบกำหนด register width (8, 12 หรือ 16 บิต) และคุณต้องเติมศูนย์นำหน้าให้เป็นตามความกว้างนั้น $558$ ใน 12 บิต คือ 0010 0010 1110 ไม่ใช่ 10 0010 1110
• จำนวนเต็ม unsigned จาก 0 ถึง $2^n - 1$ ต้องใช้ $n$ bit: 200 ต้องใช้ 8 bit (8 bit ไปถึง 255), 1000 ต้องใช้ 10 bit (10 bit ไปถึง 1023), 16 ต้องใช้ 5 bit (4 bit止 at 15).
• ตัวเลขเฮกซาเดซิมอลหนึ่งตัวต้องใช้ 4 bit, ตัวเลข BCD หนึ่งตัวต้องใช้ 4 bit, และตัวอักษร ASCII หนึ่งตัวต้องใช้ 7 bit, หรือ 8 bit สำหรับ Extended ASCII

ตัวอย่างวิธีทำ: จำนวน bit น้อยที่สุด

ตัวนำหน้าไบนารีและตัวนำหน้าทศนิยม

• ตัวนำหน้าทศนิยม (Decimal) เป็นกำลังของสิบ และใช้สำหรับความจุไดรฟ์และความเร็วเครือข่าย: กิโล $= 10^3$, เมกะ $= 10^6$, กิกะ $= 10^9$, เทรา $= 10^{12}$.
• Binary prefixes เป็นกำลังสอง ใช้สำหรับขนาดหน่วยความจำ: kibi (Ki) $= 2^{10} = 1024$, mebi (Mi) $= 2^{20}$, gibi (Gi) $= 2^{30}$, tebi (Ti) $= 2^{40}$
• ดังนั้นไดรฟ์ "1 TB" จึงมี $10^{12}$字节, แต่เมื่อระบบปฏิบัติการรายงานเป็น TiB มันจะหารด้วย $2^{40}$ และแสดงประมาณ 0.91. ไม่มีอะไรหายไป; ใช้หน่วยวัดที่แตกต่างกันสองชนิดเท่านั้น

ที่ที่เฮกซาเดซิมอลถูกใช้งานจริง

• Memory addresses และ machine code เพราะหนึ่งหลักฐานสิบหกตรงกับหนึ่ง nibble และหนึ่งไบต์เท่ากับสองหลักฐานสิบหกพอดี ทำให้การ dump อ่านได้ง่ายในพริบตา
• Color codes ในเว็บเพจ: #FF8800 เป็นหนึ่งไบต์ของแต่ละสีแดง เขียว และน้ำเงิน MAC addresses และ error codes ก็ similarly
• สาเหตุเหมือนกันเสมอ: เฮกซาเดซิมอลคือ การเขียนย่อของไบนารี ที่มนุษย์สามารถอ่านและเขียนโดยไม่ผิดพลาด ไม่ใช่ระบบที่คอมพิวเตอร์ใช้โดยตรง

คะแนนที่หลุดหายไป

คุณเข้าใจแล้ว