5 · ค্যালคูลัส

International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL · หัวข้อ 5

ดูสไลด์ ฝึกฝน

5.1

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อ SL บางส่วนสำหรับหลักสูตรที่เริ่มประเมินใน 2021; ไม่ใช่หลักสูตรทั้งหมด

เงื่อนไขก่อนหน้า: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด, และใช้ arithmetic และเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง

The examples are original and fictional: they are not real measurements or real student investigations.

5.2

ความอนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีทำ

สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท

กรณีฝึกทำ

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่

เส้นโค้ง y = x³ − 3x พร้อมจุดสูงสุดที่ (−1, 2) และจุดต่ำสุดที่ (1, −2) — y′ = 3x² − 3 = 0 ที่ x = ±1: จุดสูงสุด (−1, 2), จุดต่ำสุด (1, −2)

จุดที่เข้าใจผิด

อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป: y=x³ มีจุดวิกฤตที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป
จุดปลายสามารถสร้างค่าสุดขั้วบนโดเมนที่กำหนดได้เช่นกัน

ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

การนำไปใช้

ในระดับ GCSE/IGCSE ใช้เพียงขอบเขตพหุนามตามที่ระดับกำหนด; อย่าเพิ่มกฎลูกโซ่ กฎคูณ หรือกฎหารในระดับนั้น
ในระดับสูง เชื่อมโยงอนุพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงและการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดพร้อมขอบเขตที่กำหนดให้ถูกต้อง

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021
ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
ระวัง: อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดนิ่งที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง

เขียนจากอนุพันธ์ของ 6

สำหรับ y = x² - 4x, หาอนุพันธ์ที่ x = 5 และพิกัด y ของจุดคงที่
อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเฉพาะที่เสมอไป

สำรวจ

อนุพันธ์และจุดคงที่

สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

5.3

อินทิกรัล พื้นที่ และการสะสม

มีการเปลี่ยนแปลงสะสมไปเท่าไหร่?

กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีทำ

สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
อินทิกรัล_examples คือการสะสมที่มีเครื่องหมาย
แยกช่วงเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อต้องการหาพื้นที่รวมหรือระยะทาง

กรณีฝึกทำ

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ v(t)=3t²-3 ในช่วง 0≤t≤2, การกระจัด=[t³-3t]_0^2=2. เนื่องจาก v เปลี่ยนเครื่องหมายที่ t=1, ระยะทาง=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. ค่าคงที่จะตัดกันก็ต่อเมื่อเป็นอินทิกรัลมีเครื่องหมายเท่านั้น

เส้นโค้ง y = x³ − 3x จาก 0 ถึง 2 โดยพื้นที่ใต้แกนถูกแรเงาสีแดง และมีพื้นที่บางเหนือแกนแรเงาสีเขียว — ∫₀² (x³ − 3x) dx = −2.25 + 0.25 = −2: พื้นที่ใต้แกนนับเป็นลบ

จุดที่เข้าใจผิด

อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1
พื้นที่ที่มีเครื่องหมายอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าพื้นที่ปิดทั้งหมดจะมีค่าบวก

ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลจำกัดค่าจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่บวกทั้งหมดเสมอ แม้เมื่อกราฟตัดผ่านแกน พื้นที่ใต้แกนมีค่าเป็นลบ ดังนั้นอินทิกรัลจำกัดค่านั้นอาจมีค่าน้อยกว่าพื้นที่รวม หรือแม้กระทั่งเป็นศูนย์

การนำไปใช้

ระบุความหมายของอินทิกรัลและใส่หน่วยให้ถูกต้อง
อัตราที่วัดต่อวินาที จะอินทิเกรตเป็นปริมาณพื้นฐาน ไม่ใช่เป็นอัตรารายอื่น
หาอนุพันธ์ของผลอินทิเกรตเพื่อยืนยันคำตอบ

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021
ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
ระวัง: อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1

เขียนจากการกระจัดเป็นลบ 3

ความเร็วคือ v = 2t - 4 พิจารณาการเคลื่อนที่ตั้งแต่ t = 0 ถึง t = 3
หาการกระจัดและระยะทางทั้งหมด อินทิกรัลที่มีเครื่องหมายไม่เท่ากับพื้นที่บวกเสมอไป

เขียนจากระยะทางทั้งหมด 5

การเคลื่อนที่เดียวกัน: ที่จุดใด v = 2t − 4 เปลี่ยนเครื่องหมาย และระยะทางทั้งหมดคืออะไร?
ที่ t = 2; พื้นที่ใต้กราฟคือ 4 (ด้านล่าง) และ 1 (ด้านบน) ดังนั้นระยะทาง = 4 + 1 = 5 ในขณะที่การกระจัดเป็น −3

เขียนจากค่าของ 16

หาอินทิกรัลจำกัดของ 6 x² จาก 0 ถึง 2
ฟังก์ชันต้นแบบ 2 x³ ให้ค่า 16 ลบด้วย 0 — แทนค่าที่ขอบเขตทั้งสองแล้วลบกัน

สำรวจ

อินทิกรัล พื้นที่ และการสะสม

สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	อนุพันธ์
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	ฟังก์ชันต้นกำเนิด

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

หัวข้อเพิ่มเติมใน International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL