1 · จำนวนและพีชคณิต

International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL · หัวข้อ 1

ดูสไลด์ ฝึกฝน

1.1

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อ SL บางส่วนสำหรับหลักสูตรที่เริ่มประเมินใน 2021; ไม่ใช่หลักสูตรทั้งหมด

เงื่อนไขก่อนหน้า: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด, และใช้ arithmetic และเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง

The examples are original and fictional: they are not real measurements or real student investigations.

1.2

การคำนวณอย่างแม่นยำและการประมาณค่า

เราบรรจุของได้โดยไม่เหลือหรือไม่?

ผู้จำหน่ายบรรจุดินสอ 72 ด้าม และปากกา 90 ด้าม ลงในถุงของขวัญที่เหมือนกัน เราจะหลีกเลี่ยงเศษเหลือได้อย่างไร
บทเรียนนี้ศึกษา ตัวประกอบ πρώ: จำนวนเต็มบวกที่หารจำนวนเต็มนั้นได้พอดี

วิธีทำ

ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
ใช้กำลัง prime powers ที่น้อยที่สุดร่วมกันสำหรับ GCD และมากที่สุดใน LCM
ประมาณค่าก่อนคำนวณ ใช้วงเล็บเพื่อรักษาลำดับการดำเนินการ

กรณีฝึกทำ

$$a=\prod p_i^{\alpha_i},\quad b=\prod p_i^{\beta_i},\quad \operatorname{HCF}(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$$

ตัวอย่าง:

72=2^3×3^2 และ 90=2×3^2×5. HCF ของทั้งสองคือ 2×9=18. จัดทำ 18 ถุง โดยใส่ดินสอ 4 ด้าม และปากกา 5 ด้าม ในแต่ละถุง LCM คือ 2^3×3^2×5=360

ต้นไม้ตัวประกอบ: 72 แยกเป็น 2, 2, 2, 3, 3 และ 90 แยกเป็น 2, 3, 3, 5; ตัวประกอบร่วมให้ GCD คือ 18 — ต้นไม้ตัวประกอบ: 72 = 2³ × 3² และ 90 = 2 × 3² × 5, ดังนั้น HCF = 2 × 3² = 18

จุดที่เข้าใจผิด

GCD หารทั้งสองจำนวนได้; LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน
พวกเขาตอบคำถามที่แตกต่างกัน
ค่าประมาณทศนิยมไม่ใช่เศษส่วนที่แม่นยำ

ไม่ถูกต้อง: GCD ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนจะมีค่ามากกว่าจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ GCD หารทั้งสองจำนวนได้ ดังนั้นจึงไม่มีวันมากกว่าจำนวนที่น้อยกว่า: GCD ของ 72 และ 90 คือ 18

การนำไปใช้

สำหรับข้อสอบที่ไม่ใช้เครื่องคิดเลข ให้รักษาเศษส่วนให้ถูกต้องและแสดงการตัดทอน
สำหรับข้อสอบที่ใช้เครื่องคิดเลข ให้ป้อนนิพจน์ทั้งหมดและเปรียบเทียบกับค่าประมาณของคุณ

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021

จุดสำคัญ:

Prime factor: จำนวนเฉพาะที่หารจำนวนเต็มได้พอดี
ตัวประกอบร่วม prime factors แสดงโครงสร้างร่วมกัน
ข้อควรระวัง: HCF จะหารทั้งสองจำนวนได้ลงตัว และ LCM เป็นพหุคูณของทั้งสองจำนวน

เขียนจากตัวร่วมสูงสุดของ 15

หา HCF และ LCM ของ 45 และ 75
HCF มีค่าน้อยกว่าจำนวนเต็มทั้งสอง

สำรวจ

การคำนวณแบบแม่นยำและการประมาณค่า

ตัวประกอบของจำนวนเฉพาะเปิดเผยโครงสร้างที่ร่วมกัน

รวมกำลังที่ร่วมกัน 2 และ 9 เพื่อแสดงเหตุผลว่า 18 กระเป๋าเหมือนกันทุกประการ

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
prime factor/praɪm ˈfæktə/	ตัวประกอบร่วม
index/ˈɪndeks/	เลขชี้กำลัง
common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/	อัตราส่วนร่วม
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	ตัวคูณ

1.3

เลขชี้กำลัง รากที่สอง และรูปแบบมาตรฐาน

ความยาวระดับจุลภาคเล็กแค่ไหน?

กล้องจุลทรรศน์บันทึกความยาว 0.000072 เมตร การแสดงอย่างกระชับต้องรักษาขนาดให้ถูกต้อง
บทเรียนนี้ศึกษา เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังที่ฐานถูกยกขึ้น

วิธีทำ

สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
เลขชี้กำลังลบหมายถึงส่วนกลับ; เลขชี้กำลังเศษส่วนหมายถึงราก
มาตรฐานรูปมี 1≤a<10

กรณีฝึกทำ

$$a^m a^n=a^{m+n},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

ตัวอย่าง:

0.000072=7.2×10^(-5). นอกจากนี้ 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. หักพจน์ √72=6√2, จากนั้นทำให้ตัวส่วนไม่มีราก $1/\sqrt{2}$=√2/2.

ตัวเลขของ 0.000072 พร้อมลูกศร 5 ตัวแสดงจุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวาเพื่อสร้าง 7.2 ทำให้จำนวนคือ 7.2 × 10⁻⁵ — การเคลื่อนย้ายจุด 5 ไปทางขวาจะได้ 7.2, ดังนั้น 0.000072 = 7.2 × 10⁻⁵

จุดที่เข้าใจผิด

กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถเปลี่ยนผลบวกให้เป็นกำลังเดียว: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7
อย่าปัดเศษรากเมื่อโจทย์ต้องการคำตอบที่แม่นยำ

ไม่ถูกต้อง: สำหรับทุกค่า a ที่มากกว่าศูนย์, a^2+a^3 เท่ากับ a^5 กฎเลขชี้กำลังจะบวกกันก็ต่อเมื่อพจน์ถูกคูณกัน: 2²+2³=12, แต่ 2⁵=32

การนำไปใช้

ตรวจสอบกำลังสิบเทียบกับปริมาณต้นฉบับ
ใช้รากสำหรับการคำนวณเรขาคณิตที่แม่นยำ และปัดเศษเฉพาะความยาวสุดท้ายเมื่อโจทย์ถามเป็นทศนิยม

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021
ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

เลขชี้กำลัง: เลขยกกำลังของฐาน
สำหรับฐานบวกเดียวกัน การคูณจะบวกเลขชี้กำลัง และการหารจะลบเลขชี้กำลัง
ระวัง: กฎเลขชี้กำลังไม่สามารถแปลงผลบวกให้เป็นเลขชี้กำลังเดียวได้: 2^3+2^4=24, ไม่ใช่ 2^7

เขียนจาก 27 ยกกำลัง 2/3

คำนวณ 27 ยกกำลัง 2/3
สำหรับจำนวนบวก a² + a³ ไม่เท่ากับ a⁵

สำรวจ

เลขชี้กำลัง รากที่สอง และรูปมาตรฐาน

สำหรับฐานที่เป็นบวกเดียวกัน การคูณจะบวกละดับและหารจะลบระดับ

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

1.4

ลำดับเลขอนุกรมและความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ

การเปลี่ยนแปลงเป็นการบวกหรือคูณ?

แผนการออมเงินเพิ่ม ¥30 ทุกสัปดาห์; โมเดลประชากรเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี ผลต่างเท่ากันและอัตราส่วนเท่ากันต้องใช้โมเดลที่แตกต่างกัน
บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนร่วม: ตัวคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในอนุกรมเรขาคณิต

วิธีทำ

สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
สำหรับอนุกรมเรขาคณิต u_n=ar^(n-1) และ S_n=a(1-r^n)/(1-r)
ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ |r|<1 เท่านั้น

กรณีฝึกทำ

$$u_n=a+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 และ S_8=8(10+21)/2=124. สำหรับ a=12, r=1/2, ผลรวมอนันต์=12/(1-1/2)=24. สำหรับ u_(n+1)=2u_n+1 โดยที่ u_1=1, พจน์ถัดไปคือ 3,7,15.

จุดของอนุกรมเลขคณิต 5, 8, 11 และอื่นๆ เพิ่มขึ้นทีละ 3 สำหรับแต่ละพจน์ จนถึงพจน์ที่แปด 26 — uₙ = 5 + 3(n − 1): ก้าวเท่ากัน 3 จัดให้พจน์อยู่บนเส้นตรง

จุดที่เข้าใจผิด

พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1
ลำดับคือรายการ;อนุกรมคือผลบวก
ลำดับเรขาคณิตสามารถสลับเครื่องหมายและยังลู่เข้าได้

ไม่จริง: อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์จำกัด ผลบวกอนันต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด

การนำไปใช้

อธิบายว่าบริบทสนับสนุนการเปลี่ยนแปลงแบบบวกหรือคูณ
ในด้านการเงิน ให้แยกแยะระหว่างเงินฝากครั้งเดียวกับกระแสเงินฝากก่อนเลือกสูตรผลรวม

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021
ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

อัตราส่วนร่วม: ค่าคูณคงที่ระหว่างพจน์ติดกันในลำดับเรขาคณิต
สำหรับอนุกรมเลขคณิต u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
ระวัง: พจน์แรกมีดัชนี 1 ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ n-1

เขียนจากพจน์ที่ 6 คือ 29

ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก 4 และผลต่างร่วม 5
หาพจน์ที่ 6อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ต้องมีอัตราส่วนร่วมที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1

สำรวจ

อนุกรม เรขาคณิต และความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ

สำหรับอนุกรมเลขคณิต, u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

1.5

เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และการคิดเชิงสัดส่วน

เราสามารถหาราคาต้นฉบับกลับมาได้หรือไม่?

เสื้อโค้ดลดราคา 20% เหลือ ¥240 ส่วนลดคำนวณจากราคาเดิม ไม่ใช่จากราคาสินค้าลด
บทเรียนนี้ศึกษา ตัวคูณ: ตัวประกอบที่ทำเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในการคูณครั้งเดียว

วิธีทำ

การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
กลับค่าเปอร์เซ็นต์โดยการหารด้วยตัวคูณ
ในอัตราส่วน ให้หาจำนวนส่วนรวมก่อน

กรณีฝึกทำ

$$P_{\mathrm{new}}=P_{\mathrm{old}}\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

ตัวอย่าง:

ให้ราคาเดิมคือ P โมเดลคือ ราคาสินค้าลด=0.8P ดังนั้น P=240/0.8=300. การเพิ่มขึ้น 20% ต่อมาทำให้ได้ 240×1.2=288 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทั้งสองจึงไม่หักล้างกัน

แผนภูมิแท่ง: ราคาเดิม 300 หยวน, 240 หลังลด 20%, 288 หลังเพิ่มอีก 20% — 300 → 240 → 288 หยวน: ลด 20% แล้วเพิ่ม 20% ไม่กลับไปที่ 300 เพราะการเพิ่ม 20% ครั้งหลังนั้นคำนวณจาก 240

จุดที่เข้าใจผิด

เปอร์เซ็นต์ใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์
การลบเปอร์เซ็นต์จะทำให้สูญเสียฐานนั้นไป
สำหรับการเปลี่ยนแปลงแบบสะสม ให้คูณตัวคูณเข้าด้วยกัน อย่าบวกเปอร์เซ็นต์

ไม่ถูกต้อง: การลดลง 20% ตามด้วยการเพิ่มขึ้น 20% ไม่คืนราคาเริ่มต้นให้ เพราะการเพิ่มขึ้น 20% นั้นคำนวณจากจำนวนที่น้อยลง: 100×0.8×1.2=96 ไม่ใช่ 100

การนำไปใช้

สำหรับความแปรผันตรง ใช้ y=kx; สำหรับความแปรผกผัน ใช้ y=k/x
คำนวณค่า k จากคู่ตัวเลขที่กำหนดก่อนนำไปใช้กับค่าใหม่
ระบุสิ่งที่คุณควบคุมให้คงที่

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021
ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

ตัวคูณ: ค่าคูณที่ใช้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์ในขั้นตอนการคูณเดียว
การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
ระวัง: เปอร์เซ็นต์ต้องใช้ฐานที่ระบุไว้เป็นเกณฑ์

เขียนจากราคาสุดท้าย 192

ราคา 200 ลดลง 20 เปอร์เซ็นต์ แล้วเพิ่มขึ้น 20 เปอร์เซ็นต์
หาราคาสุดท้าย การเปลี่ยนแปลงสองครั้งนี้ไม่หักล้างกัน

สำรวจ

เปอร์เซ็นต์ อัตราส่วน และเหตุผลเชิงสัดส่วน

การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100

อธิบายว่าทำไมการลด 20% ตามด้วยการเพิ่ม 20% จึงได้ผลลัพธ์เป็น 288 แทนที่จะได้ 300

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

หัวข้อเพิ่มเติมใน International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL