3 ·เรขาคณิตและตรีโกณมิติ

International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL · หัวข้อ 3

ดูสไลด์ ฝึกฝน

3.1

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อ SL บางส่วนสำหรับหลักสูตรที่เริ่มประเมินใน 2021; ไม่ใช่หลักสูตรทั้งหมด

เงื่อนไขก่อนหน้า: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด, และใช้ arithmetic และเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง

The examples are original and fictional: they are not real measurements or real student investigations.

3.2

การหาขนาดมุม ความคล้ายคลึง และพื้นที่/ปริมาตร

ปริมาตรจะแปรผันตามความยาวหรือไม่?

โมเดลมีความยาวเป็นหนึ่งในสามของวัตถุจริง พื้นที่และปริมาตรของมันจะเล็กกว่าเท่าใด?
บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนการขยาย: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่สอดคล้องกันในรูปทรงคล้ายกัน

วิธีทำ

สำหรับรูปคล้ายกันที่มีปัจจัยการปรับขนาดความยาว k พื้นที่จะปรับขนาดด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
ระบุเหตุผลเกี่ยวกับมุมอย่างชัดเจน
เส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

กรณีฝึกทำ

$$\frac{A_2}{A_1}=k^2,\qquad \frac{V_2}{V_1}=k^3$$

ตัวอย่าง:

หากอัตราส่วนความยาวโมเดลต่อวัตถุจริงคือ 3 พื้นที่โมเดล 12 ซม.² จะเท่ากับ 12×3²=108 ซม.² และปริมาตรโมเดล 8 ซม.³ จะเท่ากับ 8×3³=216 ซม.³ กระบอกทรงกลมที่มี r=3, h=5 มีปริมาตร πr²h=45π

สี่เหลี่ยมผืนผ้าเล็กที่มีพื้นที่ 12 และสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ยาวกว่าสามเท่าและกว้างกว่าสามเท่าซึ่งมีพื้นที่ 108 — ค่าสัมประสิทธิ์การขยายขนาด 3 ให้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายพื้นที่ 3² = 9: 12 × 9 = 108

จุดที่เข้าใจผิด

มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน
ใช้ความยาวที่ตรงกันในลำดับเดียวกัน
แปลงหน่วยเชิงเส้นก่อนคำนวณพื้นที่หรือปริมาตร หรือยกตัวคูณการแปลงกำลังสองหรือกำลังสามให้ถูกต้อง

ไม่จริง: การเพิ่มทุกความยาวของวัตถุแข็งเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรเป็นสองเท่า ปริมาตรแปรผันตามกำลังสามของปัจจัยความยาว: การเพิ่มทุกความยาวเป็นสองเท่าจะเพิ่มปริมาตรขึ้น 8 เท่า

การนำไปใช้

บทพิสูจน์ทางเรขาคณิตควรระบุทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง ระบุมุมหรืออัตราส่วนที่เท่ากัน และสรุปผล
การวาดตามมาตราส่วนจะเป็นหลักฐานได้ก็ต่อเมื่อโจทย์อนุญาตให้วัดค่าเท่านั้น

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021
ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

ปัจจัยการปรับขนาด: ตัวคูณที่เกี่ยวข้องกับความยาวที่ตรงกันในรูปคล้ายกัน
สำหรับรูปคล้ายกันที่มีปัจจัยการปรับขนาดความยาว k พื้นที่จะปรับขนาดด้วย k² และปริมาตรด้วย k³
ระวัง: มุมที่เท่ากันเพียงอย่างเดียวบ่งบอกความคล้ายกัน ไม่ใช่ขนาดที่เท่ากัน

เขียนจากปัจจัยปริมาตร 8

รูปทรงคล้ายกันสองรูปมีอัตราส่วนความยาว 2
หาตัวคูณพื้นที่และตัวคูณปริมาตร การเพิ่มขนาดเส้นตรงเป็นสองเท่าไม่ได้ทำให้ปริมาตรเพิ่มขึ้นสองเท่า

สำรวจ

การให้เหตุผลเรื่องมุม ความคล้ายคลึง และการวัด

สำหรับรูปทรงที่คล้ายกันซึ่งมีความสัมพันธ์ของขนาด k พื้นที่จะเปลี่ยนตาม k² และปริมาตรจะเปลี่ยนตาม k³

จับคู่ความสัมพันธ์ของขนาดกับมิติที่เหมาะสมก่อนใช้ 12 ซม.² หรือ 8 ซม.³

3.3

สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

เสาคานต้องการด้านไหนของสามเหลี่ยม?

บันไดถึงความสูง 4 m โดยปลายฐานอยู่ห่างจากกำแพง 3 m ด้านไหนทราบแล้ว และต้องการมุมใด?
บทเรียนนี้ศึกษา ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีทำ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์ หรือพื้นที่=ab sin C/2

กรณีฝึกทำ

$$a^2+b^2=c^2,\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

ตัวอย่าง:

ความยาวเกร็ดคือ c=√(3²+4²)=5 เมตร มุมเทียบกับพื้นดินเป็นไปตามสมการ tanθ=4/3 ดังนั้น θ≈53.1°. ด้วยสองด้าน 6 และ 8 ที่ล้อมรอบมุม 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52

สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3 และ 4 และด้านตรงข้ามมุมฉาก 5 — ฉลากด้านก่อน: ที่นี่ 3, 4 และด้านตรงข้ามมุมฉาก 5, ดังนั้น sin = 4/5, cos = 3/5, tan = 4/3 ที่มุมล่างซ้าย

จุดที่เข้าใจผิด

ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
ความผิดพลาดในการตั้งค่าโหมดมุมของเครื่องคิดเลขอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ดูสมเหตุสมผลแต่ผิด
รักษาค่าที่ไม่ได้ปัดเศษไว้สำหรับขั้นตอนถัดไป

ไม่จริง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับทุกสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสต้องใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมอื่นๆ ให้ใช้กฎของโคไซน์

การนำไปใช้

ใช้แผนภาพหรือมุมมองด้านข้างสำหรับปัญหาสามมิติ ก่อนที่จะใช้กฎของสามเหลี่ยม
อธิบายว่าทำไมสามเหลี่ยมที่เลือกจึงมีความยาวหรือมุมที่ต้องการ

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021
ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

ด้านตรงข้ามมุมฉาก: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด
ระวัง: ตั้งป้ายชื่อด้านเทียบกับมุมที่เลือก

เขียนจากด้านตรงข้ามมุมฉาก 13

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉาก 5 และ 12
หาเส้นทแยงมุมและพื้นที่ Pythagoras ต้องใช้มุมฉาก

สำรวจ

สามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a²+b²=c²; sinθ=ด้านตรงข้ามมุม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cosθ=ด้านประชิดมุม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tanθ=ด้านตรงข้ามมุม/ด้านประชิดมุม

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

3.4

เรเดียน อสมการตรีโกณมิติ และสมการตรีโกณมิติ

ขอบล้อเคลื่อนที่ไปไกลเท่าไร?

ล้อหมุนจะกวาดเส้นโค้ง รadian ทำให้มุมเชื่อมต่อกับระยะทางที่เคลื่อนที่ตามขอบวงล้อโดยตรง
บทเรียนนี้ศึกษา radian: มุมที่เกิดจากเส้นโค้งwhose ความยาวเท่ากับรัศมี

วิธีทำ

สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
ใช้เอกลักษณ์ sin²θ+cos²θ=1 และเอกลักษณ์ของมุมเพื่อจัดรูปหรือหาคำตอบ
จงระบุคำตอบทั้งหมดในช่วงที่กำหนดให้

กรณีฝึกทำ

$$s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta,\qquad \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ r=4 และ θ=π/3, s=4π/3 และ A=8π/3. การแก้สมการ sin x=1/2 บน 0≤x<2π ได้ x=π/6 และ 5π/6. สำหรับ sin2x=1/2, แก้สมการบน 0≤2x<4π ก่อนแล้วหารด้วย 2

วงกลมที่มีรัศมีและมุม θ ที่จุดกึ่งกลางระหว่างรัศมีสองเส้น — ความยาวส่วนโค้ง = rθ เมื่อ θ เป็นเรเดียน

จุดที่เข้าใจผิด

คำนวณหาค่า arcsin ของเครื่องคิดเลขจะให้ค่าหลักเพียงค่าเดียว
เครื่องคิดเลขจะไม่แสดงคำตอบทั้งหมด
การหารด้วย sin x อาจทำให้สูญเสียคำตอบที่ sin x=0; ให้ตรวจสอบกรณีนี้ก่อนเสมอ

ไม่เป็นจริง: ค่าหลักของ arcsine จะ luônเป็นคำตอบเดียวในการหมุนหนึ่งรอบ Sine รับค่าส่วนใหญ่สองครั้งในการหมุนหนึ่งรอบ: sin x=0.5 ให้ 30° และ 150°

การนำไปใช้

เลือกใช้เอกลักษณ์ที่ลดรูปสมการให้อยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวเดียว
รักษาค่ามุมที่รู้จักและแม่นยำไว้เท่าที่จะทำได้ และตรวจสอบแต่ละคำตอบกับสมการต้นฉบับ

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

การวิเคราะห์และแนวทาง SL หลักสูตรนี้เริ่มประเมินในปี 2021
ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

เรเดียน: มุมที่ intercepted โดยส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมี
สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ภาควงกลม A=r²θ/2
ระวัง: คำนวณหาค่า arcsin ของเครื่องคิดเลขจะให้ค่าหลักเพียงค่าเดียว

เขียนจากความยาวส่วนโค้ง 4

ส่วนวงกลมมีรัศมี 10 และมุม 0.4 เรเดียน
หาความยาวส่วนโค้งและพื้นที่ส่วนวงกลม ค่าหลักของ Screening arcsine ไม่ใช่คำตอบเดียวในรอบเต็ม

เขียนจากส่วนโค้ง 3

ส่วนวงกลมมีรัศมี 6 และมุม 0.5 เรเดียน
ความยาวส่วนโค้ง s = r θ = 3 — นิยามเรเดียนกำลังทำงานอยู่

เขียนจากพื้นที่ส่วนวงกลม 12

ส่วนวงกลมมีรัศมี 4 และมุม 1.5 เรเดียน
พื้นที่ = r²θ / 2 = 12 —ครึ่งหนึ่งของรัศมียกกำลังสองคูณด้วยมุม

สำรวจ

หน่วยเรเดียน ออเดอร์นิกซ์และสมการตรีโกณมิติ

สำหรับ θ ในหน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง s=rθ และพื้นที่ส่วนวงกลม A=r²θ/2

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
scale factor/skeɪl ˈfæktə/	ปัจจัยมาตราส่วน
hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/	ด้านตรงข้ามมุมฉาก
radian/ˈreɪdɪən/	เรเดียน

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

หัวข้อเพิ่มเติมใน International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL