4 · สถิติและความน่าจะเป็น

International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL · หัวข้อ 4

4.1

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

หัวข้อที่รองรับสำหรับ HL. การประเมินผลครั้งแรก 2021; ปัจจุบันถึง 2028. หลักสูตรสำหรับการประเมินผลครั้งแรก-2029 แยกต่างหาก.. คู่มือการประเมินผลและข้อกำหนดทางปฏิบัติที่เหลืออยู่ยังคงมีค่าคงเดิม

สิ่งจำเป็น: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด ใช้เลขคณิตและเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง บทเรียนแต่ละบทพัฒนาวิธีการของตนเองก่อนการถ่ายโอนแบบอิสระ

นี่คือตัวอย่างการสอนดั้งเดิมหรือที่ระบุว่าเป็นเรื่องfictional อย่างชัดเจน ไม่ใช่การวัดค่าจริงหรือการสืบสวนผู้เรียนที่ได้รับการประเมินเสร็จสมบูรณ์

4.2

สรุปข้อมูล กราฟฮิสโตแกรม และการตีความ

ค่าเฉลี่ยเพียงค่าเดียวบอกเรื่องราวทั้งหมดได้หรือไม่?

กลุ่มข้อมูลสองกลุ่มมีค่ามัธยฐานเท่ากันแต่มีการกระจายตัวต่างกัน การสรุปผลเพียงข้อเดียวไม่สามารถอธิบายทั้งตำแหน่งและการคงที่ของข้อมูลได้
บทเรียนนี้ศึกษา ความหนาของความถี่ (Frequency Density): ความถี่หารด้วยขนาดชั้น ใช้เป็นความสูงของฮิสโตแกรม

เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยและค่าการกระจายที่เหมาะสมในบริบท ฮิสโตแกรมใช้พื้นที่แทนความถี่ ดังนั้น ความสูง = ความถี่ / ขนาดชั้น การประมาณค่าแบบจัดกลุ่มสมมติว่ามีค่าที่เป็นตัวแทนภายในช่วงนั้นๆ
ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข

ทำความเข้าใจกรณีตัวอย่างที่มีตรวจสอบแล้ว

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม

ตัวอย่าง:

กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 10 ถึง 20 มีความถี่ 30 จะมีความหนาแน่น 30/10=3. กลุ่มข้อมูลตั้งแต่ 20 ถึง 40 มีความถี่ 20 จะมีความหนาแน่น 20/20=1. แท่งที่กว้างกว่านี้ไม่ควรทำให้เข้าใจผิดว่าเป็นความหนาแน่นที่สูงกว่า สำหรับค่า 2,4,4,6,9, ค่ามัธยฐานคือ 4 และค่าเฉลี่ยคือ 5.

สรุปข้อมูล ฮิสโตแกรม และการตีความ — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

ทดลองทางลัดที่น่าหลงใหล

แท่งumbnailsที่สูงที่สุดไม่จำเป็นต้องมีจำนวนการสังเกตมากที่สุด ค่าเฉลี่ยแบบรวมกลุ่มเป็นเพียงค่าประมาณ ความสัมพันธ์เชิงเส้นไม่พิสูจน์ถึงความสัมพันธ์เชิงเหตุและผล และการประมาณค่าภายนอกขยายขอบเขตเกินกว่าช่วงข้อมูลที่สังเกตได้
เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น

เตือน:

ความสูงของ条形ฮิสโตแกรมเท่ากับความถี่เสมอ แม้จะมีขนาดชั้นที่ไม่เท่ากัน ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้อความนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด

ตีความสถานการณ์ใหม่

เลือกการแสดงผลที่เหมาะสมกับชนิดของข้อมูล ให้เปรียบเทียบเป็นตัวเลขและความหมายต่อประชากร ไม่ควรอนุมานความละเอียดที่แม่นยำเกินกว่าที่ตัวอย่างจะรองรับ
คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่

นำไปใช้ในหลักสูตรของคุณ

การประเมินผลรอบแรก 2021 ปัจจุบัน วิเคราะห์และแนวทาง HL นี่คือแนวคิดสนับสนุนการเขียน; ต้องใช้คู่มือฉบับเต็มเพื่อยืนยันวัตถุประสงค์ทุกข้อ
ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก

จุดสำคัญ:

ความถี่หารด้วยขนาดชั้น ใช้เป็นความสูงของฮิสโตแกรม เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/	ความหนาแน่นของความถี่
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/	ค่าคาดหวัง

4.3

ความน่าจะเป็น ต้นไม้ตัดสินใจ และการให้เหตุผลแบบมีเงื่อนไข

อะไรเปลี่ยนไปหลังการสุ่มเลือกครั้งแรก?

ถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและลูกบอลสีน้ำเงิน 2 ลูก การเลือกสองลูกโดยไม่แทนที่จะเปลี่ยนโอกาสในการได้สีของลูกบอลลูกที่สอง
บทเรียนนี้ศึกษา ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรัดขอบเขตตัวอย่างลงตามเงื่อนไขที่กำหนด

เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

คูณไปตามกิ่งของต้นไม้และบวกกิ่งที่ไม่ซ้อนทับกัน หากมีการใส่กลับ composition จะคงที่ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ P(A给定B)=P(A∩B)/P(B), สำหรับ P(B)>0.
ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข

ทำความเข้าใจกรณีตัวอย่างที่มีตรวจสอบแล้ว

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม

ตัวอย่าง:

หากไม่ใส่กลับ, P(แดงสองลูก)=3/5×2/4=3/10. P(แดงกับน้ำเงินอย่างละหนึ่ง)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. ถ้า P(A∩B)=0.12 และ P(B)=0.3, P(A给定B)=0.4.

Probability, trees and conditional reasoning — original teaching diagram

ทดลองทางลัดที่น่าหลงใหล

เหตุการณ์ที่แยกจากกันหมายความว่าไม่มีส่วนทับซ้อน; เหตุการณ์ที่เป็นอิสระหมายความว่าเมื่อทราบเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลง เหตุการณ์ที่แยกจากกันสองเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นเป็นบวก都不是独立事件。
เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น

เตือน:

เหตุการณ์ที่แยกกันสนิทที่มีค่าความน่าจะเป็นมากกว่าศูนย์ต้องเป็นอิสระ ข้อความนี้ผิด อธิบายว่าข้อเท็จจริงหรือสมมติฐานใดถูกละเมิด

ตีความสถานการณ์ใหม่

ตารางสองมิติช่วยให้เห็นตัวส่วนที่ถูกจำกัดชัดเจน ก่อนใช้ผลคูณ P(A)P(B) ต้องอธิบายความเป็นอิสระจากบริบทหรือข้อมูลที่ให้มา
คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่

นำไปใช้ในหลักสูตรของคุณ

การประเมินผลรอบแรก 2021 ปัจจุบัน วิเคราะห์และแนวทาง HL นี่คือแนวคิดสนับสนุนการเขียน; ต้องใช้คู่มือฉบับเต็มเพื่อยืนยันวัตถุประสงค์ทุกข้อ
ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก

จุดสำคัญ:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งหลังจากรัดขอบเขตตัวอย่างลงตามเงื่อนไขที่กำหนด เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์

4.4

โมเดลทวินาม ปกติ และปอยซง

อะไรทำให้การนับจำนวนมีรูปแบบที่คาดเดาได้?

ผู้ตรวจสอบคุณภาพนับสินค้าเสีย จำนวนนั้นเป็นค่าสุ่ม แต่โมเดลสามารถอธิบายช่วงที่เป็นไปได้ของมัน
บทเรียนนี้ศึกษา ค่าคาดหวัง: ค่าเฉลี่ยที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

โมเดลไบนอมิอัลต้องการ n ที่แน่นอน การทดลองที่เป็นอิสระ ผลลัพธ์สองอย่าง และ p ที่คงที่ E(X)=np และ Var(X)=np(1-p) สำหรับโมเดลปกติใช้ z=(x-μ)/σ โมเดลปอยซงอธิบายการนับด้วยอัตราคงที่และสมมติฐานความเป็นอิสระที่เหมาะสม
ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข

ทำความเข้าใจกรณีตัวอย่างที่มีตรวจสอบแล้ว

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม

ตัวอย่าง:

สำหรับ X แบนอมิอัล(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 และ Var(X)=0.8 สำหรับปริมาณปกติที่มี μ=100, σ=15, ค่า 130 มี z=2 ปอยซง mean = 3 ต่อชั่วโมง ให้ mean = 6 ตลอดสองชั่วโมง

โมเดลทวินาม ปกติ และปอยซง — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

ทดลองทางลัดที่น่าหลงใหล

ไม่ใช่ทุกการนับจะเป็นแบบทวินาม: การเปลี่ยน p หรือความขึ้นอยู่กับกันอาจทำให้เงื่อนไขไม่ถูกต้อง สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของค่าที่แน่นอนหนึ่งค่ามีค่าเป็นศูนย์ การแก้ไขความต่อเนื่องมีความสำคัญเมื่อประมาณการการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องด้วยการแจกแจงปกติ
เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น

เตือน:

ทุกจำนวนครั้งความสำเร็จมีการแจกแจงแบบทวินามไม่ว่าจะมีความสัมพันธ์กันหรือไม่ ข้ออ้างนี้ผิด อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด

ตีความสถานการณ์ใหม่

เขียนเหตุการณ์ในรูปอสมการก่อนใช้ฟังก์ชันการแจกแจงบนเครื่องคิดเลข แยกแยะระหว่าง P(X<k), P(X≤k) และส่วนเสริมของหาง (tail complement) ระบุสมมติฐานในบริบทของปัญหา
คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่

นำไปใช้ในหลักสูตรของคุณ

การประเมินผลรอบแรก 2021 ปัจจุบัน วิเคราะห์และแนวทาง HL นี่คือแนวคิดสนับสนุนการเขียน; ต้องใช้คู่มือฉบับเต็มเพื่อยืนยันวัตถุประสงค์ทุกข้อ
ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก

จุดสำคัญ:

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

4 · สถิติและความน่าจะเป็น

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

สรุปข้อมูล กราฟฮิสโตแกรม และการตีความ

ค่าเฉลี่ยเพียงค่าเดียวบอกเรื่องราวทั้งหมดได้หรือไม่?

เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

ทำความเข้าใจกรณีตัวอย่างที่มีตรวจสอบแล้ว

ทดลองทางลัดที่น่าหลงใหล

ตีความสถานการณ์ใหม่

นำไปใช้ในหลักสูตรของคุณ

ความน่าจะเป็น ต้นไม้ตัดสินใจ และการให้เหตุผลแบบมีเงื่อนไข

อะไรเปลี่ยนไปหลังการสุ่มเลือกครั้งแรก?

เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

ทำความเข้าใจกรณีตัวอย่างที่มีตรวจสอบแล้ว

ทดลองทางลัดที่น่าหลงใหล

ตีความสถานการณ์ใหม่

นำไปใช้ในหลักสูตรของคุณ

โมเดลทวินาม ปกติ และปอยซง

อะไรทำให้การนับจำนวนมีรูปแบบที่คาดเดาได้?

เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

ทำความเข้าใจกรณีตัวอย่างที่มีตรวจสอบแล้ว

ทดลองทางลัดที่น่าหลงใหล

ตีความสถานการณ์ใหม่

นำไปใช้ในหลักสูตรของคุณ

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

หัวข้อเพิ่มเติมใน International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL

เข้าสู่ระบบหรือสร้างบัญชี

วิชาของคุณ

ทุกส่วน

ความคิดเห็น &ความช่วยเหลือ