ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
กรอบแนวคิด ACT, ฉบับปรับปรุงเดือนกุมภาพันธ์ 2026 กรณีศึกษาในห้องเรียนเหล่านี้ไม่ใช่รูปแบบ ACT อย่างเป็นทางการ
- อธิบายการประมาณประชากรและหลักฐานจากการจำลองโดยไม่อ้างว่าเป็นข้อพิสูจน์
- คำนวณปริมาณ conditional, compound และค่าคาดหวัง
- เลือกการเรียงสับเปลี่ยนหรือการจัดชุดตาม اینکه whether order matters
ความรู้พื้นฐาน: เปอร์เซ็นต์; ประชากร; การสุ่มตัวอย่างและการจัดกลุ่มแบบสุ่ม
อธิบายและเลือกวิธีการ
ตัวอย่างสุ่มช่วยในการสรุปผล (inference) ไปยังประชากรต้นทาง; ขอบเขตความผิดพลาด (margin of error) ให้ช่วงความไม่แน่นอนของการสุ่มรอบค่าประมาณ การกำหนดแบบสุ่มแทนที่จะช่วยเปรียบเทียบการรักษาแบบมีเหตุและผล ในการจำลอง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นยากภายใต้ข้ออ้างสามารถเป็นหลักฐาน против ข้ออ้างนั้นได้; ความล้มเหลวในการค้นพบผลลัพธ์ที่ไม่ปกติไม่ได้พิสูจน์ว่าข้ออ้างนั้นเป็นจริง
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (conditional probability) จำกัดตัวหารให้อยู่ในกลุ่มที่มีเงื่อนไข สำหรับ A หรือ B ทั้งสอง ให้ลบส่วนที่ทับซ้อนหลังจากบวกความน่าจะเป็นแยกกัน ความอิสระอนุญาตให้คูณความน่าจะเป็นที่ไม่เปลี่ยนแปลง; การสุ่มโดยไม่แทนที่จำเป็นต้องปรับจำนวนExpected value 期望值 คือผลรวมของแต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คูณกับความน่าจะเป็นของมัน ไม่ใช่ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น在一次 trial
ใช้หลักการคูณสำหรับการเลือกตามลำดับ สำหรับวัตถุ n ตัวที่ต่างกัน การเลือก r ตัวโดยเรียงลำดับจะได้ n!/(n-r)!; การเลือกชุดที่ไม่มีการจัดอันดับจะได้ n!/[r!(n-r)!] การหารด้วย r! จะขจัดการจัดเรียงซ้ำของชุดเดียวกัน สูตรเหล่านี้สมมติว่าวัตถุแตกต่างกันและไม่มีการแทนที่ เงื่อนไขที่แตกต่างกันต้องการการนับที่สอดคล้องกัน
แปลงเหตุการณ์ให้อยู่ในรูปจำนวนก่อนคำนวณความน่าจะเป็น หากเหตุการณ์ที่เป็นประโยชน์สามารถเกิดขึ้นได้หลายวิธีที่ไม่ทับซ้อนกัน ให้บวกวิธีเหล่านั้น; หากเส้นทางทับซ้อนกัน ให้หลีกเลี่ยงการนับซ้ำ คำตอบที่เป็นตัวเลขต้องอยู่ระหว่างศูนย์และหนึ่งสำหรับความน่าจะเป็น ในขณะที่ต้นทุนหรือคะแนนที่คาดหวังจะมีหน่วยเดียวกับผลลัพธ์
ข้อผิดพลาดของช่วงความเชื่อมั่นจะเพิ่มและลดเป็นเปอร์เซ็นต์พอยท์ การประมาณ 63% ด้วยข้อผิดพลาด 4 พอยท์ จะได้ 59%–67% นี่คือช่วงความเชื่อมั่นจากกระบวนการทางสถิติ ไม่ใช่การรับประกันว่าคำตอบของแต่ละบุคคลจะอยู่ใกล้ 63% การสุ่มตัวอย่างช่วยในการสรุปผลเกี่ยวกับประชากร; การสุ่มจัดกลุ่มช่วยในการเปรียบเทียบผลการรักษา
ตัวอย่างฝึกฝน จากนักเรียน 5 คน คู่กัปตัน/รองกัปตันมีจำนวน 5·4=20; คู่ที่ไม่มีการจัดอันดับมีจำนวน 5·4/2=10 เกมมอบ 4 คะแนนด้วยความน่าจะเป็น 1/4 และ 0 ในกรณีอื่น ดังนั้นรางวัลที่คาดหวังคือ 1 คะแนนต่อการเล่น การประมาณจากตัวอย่าง 52% ±3 เปอร์เซ็นต์พอยท์ ให้ช่วง 49%–55%; ไม่ใช่การรับประกันเกี่ยวกับทุกตัวอย่างหรือบุคคล
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
นักเรียนหกคนเลือกประธานและเลขาธิการคนละคน จะมีการมอบหมายได้กี่แบบ? จะมีคณะกรรมการสองคนที่ไม่มีการเรียงลำดับได้กี่ชุด? อธิบายความแตกต่าง
เหตุผล บทบาทที่เรียงลำดับให้ $6(5)=30$ คู่ที่ไม่มีการจัดอันดับถูกนับซ้ำสองเท่าในผลคูณนั้น ดังนั้นจึงมี $6(5)/2=15$ การสลับคนเปลี่ยนบทบาทแต่ไม่เปลี่ยนคณะกรรมการที่ไม่มีการจัดอันดับ
ฝึก 2
เกมจ่าย 12 TOKEN ด้วยความน่าจะเป็น 0.1, 3 ด้วยความน่าจะเป็น 0.4, และศูนย์ในกรณีอื่นๆ ค่าเข้าเล่นเกมใช้ 2 TOKEN. หาเงินจ่ายเฉลี่ยที่คาดหวังและกำไรสุทธิเฉลี่ยที่คาดหวัง ผู้เล่นจะได้รับจำนวนนั้นทุกครั้งหรือไม่?
เหตุผล ความน่าจะเป็นที่เหลือคือ 0.5 $E(P)=12(0.1)+3(0.4)+0(0.5)=2.4$ ตูเคน ผลต่างที่คาดหวังคือ $E(G)=E(P)-2=0.4$ ตูเคนต่อการเล่น ผลลัพธ์จริงของผลต่างคือ 10,1,-2; ไม่มีค่าใดเท่ากับ 0.4 ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยระยะยาวภายใต้โมเดล
ฝึก 3
ลูกบอลสองลูกถูกดึงโดยไม่แทนที่จากถุงที่มี 3 ลูกสีแดงและ 2 ลูกสีน้ำเงิน. หาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกสีแดงทั้งสองลูก และความน่าจะเป็นจะได้ลูกสีแดงหนึ่งลูกพอดี
เหตุผล. $P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10$. กระป๋องสีแดงเกิดขึ้นได้เพียงครั้งเดียวในรูปแบบ RB หรือ BR: $P=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$. ตัวหารของครั้งที่สองคือ 4; การจับเป็นแบบขึ้นต่อกัน
ฝึกฝน 4
ตัวอย่างสุ่มของสมาชิกห้องสมุดจดทะเบียน 500 คน รายงาน支持力度 62% สำหรับการเปลี่ยนแปลง พร้อมขอบเขตความคลาดเคลื่อน 4 จุดเปอร์เซ็นต์. ระบุช่วงและประชากร. มันยืนยัน支持力度ในประชาชนทุกคนในเมืองหรือไม่?
เหตุผล ช่วงคือ $62\%-4\%=58\%$ ถึง $62\%+4\%=66\%$, ที่การลบหมายถึงพอยท์ ประชากรคือสมาชิกที่ลงทะเบียนในกรอบการสุ่ม ตัวอย่างที่ไม่ใช่สมาชิกไม่ได้ถูกสุ่ม ดังนั้นการประมาณจึงไม่สามารถพิสูจน์การสนับสนุนของผู้ κατο居住ทุกคนได้
แบบฝึกหัด 5
อาสาสมัครสี่สิบคนถูกสุ่มจัดกลุ่มไปยังคำแนะนำเก่าหรือใหม่ โดยมีงานและเงื่อนไขเดียวกัน กลุ่มใหม่ทำเสร็จเร็วขึ้น. ข้ออ้างเชิงสาเหตุและข้ออ้างเกี่ยวกับประชากรใดสมเหตุสมผล?
เหตุผล การจัดแบบสุ่มรองรับการเปรียบเทียบเชิงสาเหตุของรูปแบบการสอนสำหรับผู้เข้าร่วมภายใต้เงื่อนไขที่ทดสอบ ภายใต้ความแปรปรวน การเลือกโดยสมัครใจจำกัดการสรุปไปยังประชากร มันไม่ได้พิสูจน์ว่าผู้ใช้ทุกคนในอนาคตจะเสร็จเร็วขึ้น
ฝึก 6
การสำรวจอาสาสมัครเว็บไซต์ 10000 มีข้อผิดพลาดรายงานแคบ อธิบายทำไมขนาดเพียงอย่างเดียวไม่สามารถแก้ไขความเบี่ยงเบนของการเลือก และเสนอวิธีการสรรหาที่ดีกว่า
เหตุผล ผู้ที่เลือกตอบอาจแตกต่างอย่างเป็นระบบจากผู้ที่ไม่ตอบ ข้อผิดพลาดสำหรับการแปรผันของการสุ่มไม่ขจัดความเบี่ยงเบนนี้ เลือกแบบสุ่มจากประชากรเป้าหมายที่กำหนดและติดตามผู้ที่ไม่ตอบ; ยังคงรายงานข้อจำกัด
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
ลำดับ การแทนที่ และการมีเงื่อนไขเปลี่ยนการคำนวณ การไม่ปฏิเสธข้ออ้างทางสถิติไม่ใช่การพิสูจน์ว่ามันเป็นความจริง
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ