Периметр и площадь базовых фигур
| English | Русский |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | площадь |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | периметр |
| perpendicular height/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə haɪt/ | высота |
Насколько велик ваш сад?
- Агенты по недвижимости указывают площадь пола в квадратных метрах. «Квартира 50 м²» — это та, пол которой занимает 50 квадратов, каждый со стороной 1 м.
- Нахождение площади — одна из самых практичных вещей, которые делает математика, и она начинается с нескольких ключевых формул.
Лабораторная работа по масштабированию площади
площадь = сторона^2
Измените длину стороны и посмотрите, почему площадь растёт квадратично.
Периметр
- Периметр = расстояние по всему контуру снаружи фигуры.
- Прямоугольник: $P = 2(\text{length} + \text{width})$.
Прямоугольник $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$: $P = 2(8 + 5) = 26\text{ cm}$.
Площадь основных фигур; $b$ — это основание, $h$ — перпендикулярная высота, а $a$, $b$ — параллельные стороны трапеции
Прямоугольник имеет размеры 8 см на 5 см. Найдите его периметр (см).
Периметр = 2(8 + 5) = 26 см.
Соотнесите каждую фигуру с её формулой площади.
У каждой фигуры своя формула площади; у трапеции среднее арифметическое параллельных сторон.
Формулы площади
| Фигура | Площадь | Примечания |
|---|---|---|
| прямоугольник | $\text{length} \times \text{width}$ | |
| треугольник | $\dfrac{1}{2} \times b \times h$ | $h$ — перпендикулярная высота |
| параллелограмм | $b \times h$ | $h$ — перпендикулярная высота |
| трапеция | $\dfrac{1}{2}(a+b)h$ | $a, b$ — параллельные стороны |
Перпендикулярная высота, а не наклонная. Для треугольников и параллелограммов $h$ должно измеряться под прямым углом к основанию. Использование боковой стороны дает неверный ответ.
Распространенные тела и размеры, используемые в формулах их объема и площади поверхности
У треугольника основание равно 10 см, а высота — 6 см. Найдите его площадь (см²).
½ × 10 × 6 = 30 см².
У параллелограмма основание равно 12 см, а перпендикулярная высота — 7 см. Найдите его площадь (см²).
Площадь = b × h = 12 × 7 = 84 см².
В формуле площади треугольника h — это наклонная высота треугольника.
h должно быть перпендикулярной высотой (под углом 90° к основанию), а не наклонной стороной.
Прямоугольник имеет размеры 8 см на 5 см. Найдите его площадь (см²).
Площадь = длина × ширина = 8 × 5 = 40 см².
Разобранный пример — трапеция
- Параллельные стороны равны $6\text{ cm}$ и $10\text{ cm}$, высота составляет $4\text{ cm}$.
- Площадь $= \dfrac{1}{2}(6+10) \times 4 = \dfrac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\text{ cm}^2$.
Площадь треугольника использует перпендикулярную высоту — высоту, проведенную $90^{\circ}$ к основанию, а не боковую сторону.
У трапеции параллельные стороны равны 6 см и 10 см, а высота — 4 см. Найдите её площадь (см²).
½(6 + 10) × 4 = ½ × 16 × 4 = 32 см².
Почему работает формула треугольника?
- Любой треугольник представляет собой ровно половину параллелограмма с тем же основанием и высотой.
- Вот почему в формуле используется $\dfrac{1}{2}$ — это половина площади параллелограмма.
Вы поняли
- площадь прямоугольника $= l \times w$; треугольника $= \dfrac{1}{2}bh$; параллелограмма $= bh$
- трапеция $= \dfrac{1}{2}(a+b)h$ ($a, b$ — параллельные стороны)
- $h$ всегда является перпендикулярной высотой