Прямая и обратная пропорциональность

Золотое соотношение рецептов

• Рецепт блинов на 4 человека требует 200 г муки. Сколько нужно на 10 человек? $200 \div 4 = 50$ г на человека, итого $50 \times 10 = 500$ г.
• Это прямая пропорциональность: удвоение количества людей означает удвоение муки. Соотношение остается прежним.

Прямая пропорциональность

• $y \propto x$ означает $y = kx$ для некоторой константы $k$ (или коэффициента пропорциональности).
• Если $y$ удваивается, то $x$ тоже удваивается — они масштабируются вместе.
• Найдите $k$ по известной паре, затем используйте ее.

Обратная пропорциональность

• $y \propto \dfrac{1}{x}$ означает $y = \dfrac{k}{x}$ — когда одно растёт, другое уменьшается.
• Больше рабочих → меньше времени. Больше скорость → меньше время пути.

Пропорциональность степеням и корням

• Пропорциональность может быть к квадрату, кубу или корню:
• $y \propto x^2$: $y = kx^2$. Если $x$ удваивается, $y$ увеличивается в четыре раза.
• $y \propto \sqrt{x}$: $y = k\sqrt{x}$.

Прямая пропорциональность — это прямая линия через начало координат. Нелинейная пропорциональность (к квадрату, кубу или корню) изгибается.

Разобранный пример

• $y \propto x^2$ и $y = 50$ при $x = 5$. Найдите $y$, когда $x = 8$.
• $50 = k(5^2) = 25k \Rightarrow k = 2$.
• $y = 2(8^2) = 2(64) = 128$.

Обратный расчет

• Шесть одинаково производительных рабочих тратят 10 дней. При фиксированном объеме работы это $t=k/w$, то есть $k=tw=10(6)=60$ человеко-дней.
• Десять рабочих потратят $t=60/10=6$ дней при равной производительности. Не используйте прямую пропорциональность: увеличение числа рабочих должно сократить время.

Вы поняли