Алгебраические дроби

Словарь

English	Русский
algebraic fractions/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃnz/	алгебраические дроби
factorise/ˈfæktəraɪz/	разложить на множители
cancel/ˈkænsl/	уничтожаются
common denominator/ˈkɒmən dɪˈnɒmɪneɪtə/	общий знаменатель
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	обратной величиной

Дроби с буквами

Пекарщик уменьшает рецепт вдвое, а затем еще втрое — получается $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ от исходного количества.
Алгебраические дроби обрабатываются точно так же, но числа заменяются выражениями. Правила не меняются.

Исследовать

Алгебраические дроби: алгоритм

Упрощайте алгебраические дроби, раскладывая числитель и знаменатель на множители перед сокращением.

Упрощение алгебраических дробей

Разложите числитель и знаменатель на множители, затем сократите общие множители.
$\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} = \dfrac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \dfrac{x}{x-3}$.

Watch out

Сначала разложите на множители, затем сокращайте. Нельзя сокращать отдельные слагаемые: $\dfrac{x+2}{x+3} \neq \dfrac{2}{3}$. $+2$ и $+3$ не являются множителями — они стоят внутри суммы.

Раскрытие скобок с использованием модели площади

Раскрытие скобок с помощью модели площади

Практика

Упростите (x² − 2x)/(x² − 5x + 6).

x/(x − 3)
x/(x − 2)
(x − 2)/(x − 3)
x − 3

Практика

(x + 2)/(x + 3) упрощается до 2/3.

Сложение и вычитание

Найдите общий знаменатель, как и при работе с обычными дробями.
$\dfrac{x}{3} + \dfrac{x-4}{2} = \dfrac{2x}{6} + \dfrac{3(x-4)}{6} = \dfrac{2x + 3x - 12}{6} = \dfrac{5x - 12}{6}$.

Example

Раскрывайте скобки внимательно. $3(x-4) = 3x - 12$ (не $3x - 4$). Каждое слагаемое внутри скобок должно быть умножено.

Практика

Сложите x/3 + (x−4)/2, приведя к общему знаменателю 6.

(5x − 12)/6
(2x − 4)/6
(5x + 12)/6
(x − 4)/6

Практика

Чтобы сложить алгебраические дроби, необходимо сначала найти общий ______.

Умножение и деление

Умножение: верхние × верхние, нижние × нижние — так же, как с обычными дробями.
Деление: умножьте на обратную дробь второй дроби.
$\dfrac{x+1}{x-2} \div \dfrac{x+3}{x} = \dfrac{x+1}{x-2} \times \dfrac{x}{x+3} = \dfrac{x(x+1)}{(x-2)(x+3)}$.

Практика

Чтобы разделить алгебраические дроби, умножьте на обратную дробь второй.

Разобранный пример

Упростите $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$.
Разложите: числитель $= (x+3)(x-3)$, знаменатель $= (x+2)(x+3)$.
Сократите $(x+3)$: результат $= \dfrac{x-3}{x+2}$.

Парабола y = x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3), показывающая, как разложение раскрывает корни — тот же метод упрощает алгебраические дроби

Разложение на множители — ключ к решению квадратных уравнений и упрощению алгебраических дробей.

Практика

Упростите (x² − 9)/(x² + 5x + 6).

(x − 3)/(x + 2)
(x + 3)/(x + 2)
(x − 3)/(x − 2)
x/(x + 2)

Сохранение исключенных значений

Сокращение множителя не восстанавливает запрещенный входной параметр. $x(x-2)/((x-2)(x-3))=x/(x-3)$, но исходные все еще исключают $x=2$ и $x=3$.
Для $(x+1)/(x-2)\div((x+3)/x)$ исключите $x=2,0$ из-за знаменателей, и $x=-3$, потому что делитель равен нулю. Запишите эти ограничения перед сокращением.