Производная
Introduced| English | Русский |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | производной |
| gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ | угловой коэффициент касательной |
| differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ | дифференцирование по определению |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | правило степени |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | правило произведения |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | правило частного |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | цепное правило |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | стационарная точка |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | вторую производную |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | максимальная |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | минимуму |
Конечное среднее скрывает локальные изменения
- Для $y=x^2$ секущая от x, равного 1, до 2 имеет наклон 3, но касательная в точке x, равной 1, имеет наклон 2.
- Производная — это мгновенная предельная скорость, когда она существует. Геометрически она дает наклон касательной в дифференцируемой точке.
Сдвиньте вторую точку к первой
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
Хорда становится касательной, а её угловой коэффициент — производной.
Что измеряет производная функции в точке?
Там, где она существует, производная — это мгновенная предельная скорость изменения и угловой коэффициент касательной. Определённый интеграл измеряет алгебраическую сумму накоплений, которая не обязательно равна геометрической площади.
Найти предел без деления на ноль
- Дифференцирование с первых принципов использует $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. Разностное отношение использует ненулевое h до взятия предела.
- Односторонние пределы должны совпадать для двусторонней производной. Острый угол может препятствовать дифференцируемости, даже если функция непрерывна.
Степень по определению. Для $f(x)=x^2$ частное равно $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ при nonzero h. Его предел равен $2x$. Для $|x|$ в нуле частное $|h|/h$ вместо этого имеет правосторонний предел 1 и левосторонний предел -1, поэтому производная там не существует.
Выбрать правило для формы функции
- Правило степени дает $(x^n)'=nx^{n-1}$ на допустимой области. Правило произведения дает $(uv)'=u'v+uv'$.
- Правило частного дает $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$, где v не равно нулю. Правило сложной функции дает $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, включая производную внутренней функции.
Найдите производную y = x⁵. Запишите производную.
Снесите степень вниз и уменьшите её на единицу: 5x⁴.
Какое правило дифференцирует y = (3x + 1)⁴?
Функция внутри функции. Производная равна 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
Стационарная точка требует классификации
- Стационарная точка имеет $f'(x)=0$. Ненулевая вторая производная в этой точке указывает на локальный максимум, если она отрицательна, или на минимум, если она положительна.
- Нулевая вторая производная не дает однозначного вывода. Изучите знаки первой производной или другие доказательства; $x^3$ имеет стационарную точку перегиба в нуле, а не максимум или минимум.
y = x³ − 3x имеет стационарную точку при положительном значении x. Какое оно?
dy/dx = 3x² − 3 = 0 даёт x = ±1, значит положительное значение — x = 1.
В стационарной точке вторая производная отрицательна. Какой это тип точки?
Отрицательная вторая производная означает, что угловой коэффициент убывает через ноль, поэтому кривая прогибается вниз.
Расставьте шаги решения задачи на стационарные точки в порядке, обеспечивающем получение баллов.
Найдите кандидаты x из производной, подставьте их в исходную функцию для координат и обоснуйте классификацию. Нулевая вторая производная не даёт однозначного вывода.
Найдите обе координаты и опишите интервалы. В листе 3.1 разложите производную на множители, чтобы найти кандидаты на x-значения, подставьте их в исходную функцию для получения y, затем проверьте классификацию и участки возрастания или убывания кривой.
$dy/dx$ дифференцируется по x; точка над y обычно дифференцируется по времени. Указывайте независимую переменную, а не рассматривайте эти обозначения как взаимозаменяемые в каждой задаче. Правила дифференцирования тригонометрических функций здесь используют радианы.