Интеграция
Introduced| English | Русский |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | интеграция |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | определенный интеграл |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | основная теорема математического анализа |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | постоянная интегрирования |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | замена переменной в интеграле |
Подписанное накопление может сокращаться
- Интегрирование может восстановить первообразную или вычислить подписанное накопление. Определенный интеграл не обязательно является неотрицательной геометрической площадью.
- Для непрерывного подынтегрального выражения основная теорема математического анализа связывает определенный интеграл с первообразной, вычисленной на его границах.
Сохранять семейство первообразных
- Неопределенный интеграл требует константы интегрирования, так как производная любой константы равна нулю. Формула степени равна $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ для $n\ne-1$ на допустимой области.
- Обратное исключение $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ на интервале, не содержащем ноль. Положительная или отрицательная область требует проверки перед выбором выражения для логарифма.
Проинтегрируйте x³ по x. Не забудьте константу.
Прибавьте единицу к степени и разделите на новую степень, затем добавьте c, так как любая константа при дифференцировании обращается в ноль.
Определённому интегралу нужна константа интегрирования.
Константа сокращается при вычислении F(b) − F(a). Она необходима только для неопределённого интеграла — и там обязательна.
Одним предложением на английском объясните, почему неопределённый интеграл требует "+ c".
Пример: «Любая константа при дифференцировании обращается в ноль, поэтому исходную константу невозможно восстановить по производной».
Вычислите верхний минус нижний
- Определённый интеграл даёт $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ при применении метода первообразной. Подставьте оба предела в одну функцию F.
- Константа C сокращается при вычислении этих значений. Для геометрической площади разбейте её там, где кривая меняет знак или где верхняя и нижняя кривые меняются местами.
Площадь под кривой
$\int_a^b f(x)\,dx$
Определённый интеграл — это алгебраическая площадь между кривой и осью.
Вычислите интеграл от x² от 0 до 3.
[x³/3] от 0 до 3 = 27/3 − 0 = 9.
Нулевой интеграл, положительная площадь. Для $y=x$ от -1 до 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. Геометрическая площадь равна $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Каждая треугольная область имеет площадь половину; их знаковые вклады взаимно уничтожаются.
Подставьте и функцию, и дифференциал
- Интегрирование заменой является обратным действием правилу сложной функции. При $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, следовательно, $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- Для определённого интеграла преобразуйте его пределы в u или вернитесь к x перед вычислением исходных пределов. Не смешивайте выражения с u и пределами по x.
Какая замена упростит интеграл от 2x(x² + 1)⁵?
Её производная 2x уже присутствует, поэтому du = 2x dx, и интеграл принимает вид u⁵ du.
Дифференцируйте первообразную, чтобы проверить её. Также проверьте область определения, константу интегрирования и пределы; одна лишь дифференциация не доказывает корректность вычисления определённого интеграла или геометрической площади. Лист 3.2 использует скорость для различения перемещения, общего пройденного расстояния и конечного положения.
Как надёжно проверить результат интегрирования?
Дифференцируйте предполагаемую первообразную и сравните её с исходным подынтегральным выражением на области определения. Также проверьте константу, пределы интегрирования и знак или геометрическую интерпретацию площади; одного лишь дифференцирования недостаточно для проверки этих шагов.
Первообразная, корректная на интервале, не может автоматически оправдывать вычисление через сингулярность. Проверьте область определения подынтегральной функции перед применением формулы «верхний минус нижний». Начальное положение необходимо добавить, если интеграл даёт только перемещение.