Tangents, chords and the alternate segment · Higher
Введено| English | Значение |
|---|---|
| alternate segment theorem/ɔːlˈtɜːnət ˈseɡmənt ˈθɪərəm/ | теорема о касательной и хорде |
Два пути из внешней точки касаются круглого пруда. Их равные длины следуют из равенства прямоугольных треугольников, а не из симметричного вида наброска.
- Два пути из внешней точки касаются круглого пруда. Их равные длины следуют из равенства прямоугольных треугольников, а не из симметричного вида наброска.
- На этом уроке изучается теорема о касательной и хорде: угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на эту хорду в противоположном сегменте.
Выберите математическую структуру
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Касательные, проведённые из одной внешней точки, равны. Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам. Угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на эту хорду в альтернативном сегменте. Используйте равенство радиусов, прямоугольные треугольники и теорему о центральном угле для доказательства этих соотношений.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Why are the two tangents from an external point P equal in length?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
OA=OB are radii, OP is shared, and both contact angles are 90°, so RHS gives congruent triangles and matching tangent segments PA and PB.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
В точке касания T радиус OT перпендикулярен касательной: любая неперевертикальная прямая через T имела бы меньшее расстояние от центра до прямой, чем радиус, и пересекала бы окружность дважды. Для касательных PA и PB OA=OB, OP — общая сторона, оба угла касания равны 90°. По признаку прямоугольных треугольников (RHS) треугольники OAP и OBP равны, следовательно PA=PB. Для перпендикуляра OM к хорде AB из центра: OA=OB и OM — общая сторона; признак RHS дает AM=MB. Если OA=5 и OM=3, то AM=4, откуда AB=8. Для хорды AB с малым центральным углом φ основание треугольника OAB имеет угол (180-φ)/2. Прилегающий угол между касательной и хордой равен 90-(180-φ)/2=φ/2, что равно вписанному углу во вписанном сегменте. Таким образом, угол между касательной и хордой в 35° дает 35° в этом сегменте. Конфигурации дополнения/тупого угла требуют соответствующей дуги и угла.
Tangents, chords and the alternate segment
A tangent is perpendicular to its contact radius
Classify the worked-case statements, then explain the units or invariant that justifies each decision.
Find the radius–tangent angle.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A tangent is perpendicular to the radius at contact.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Угол между касательной и хордой и угол между радиусом и хордой — это разные понятия. Равные длины касательных относятся только к одной внешней точке. Хорда делится пополам перпендикуляром, опущенным из центра, а не любой произвольной прямой, проходящей через неё.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, делит пополам каждую пересекаемую ею хорду. Это утверждение ложно. Объясните, какому определению или предположению оно противоречит.
One tangent from P has length 7. Find the other tangent length.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tangents from the same external point have equal length.
Any line through a circle centre bisects every chord it meets.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A tangent–chord angle and a radius–chord angle are different. Equal tangent lengths refer to one external point. The chord is bisected by a perpendicular from the centre, not by any line that happens to cross it.
Интерпретируйте новую ситуацию
- AQA G10 Higher включает доказательства этих теорем и связанные результаты. Явно укажите критерий равенства или цепочку углов и определите соответствующую хорду, точку касания и вписанный сегмент.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Find the alternate-segment angle for a 35° tangent–chord angle.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Apply the alternate segment theorem to the same chord.
Match each tangent or chord fact to its statement.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Each result follows from equal radii plus a right angle, proved with congruent triangles or the centre-angle theorem.
Примените это в своем курсе
- 8300 · Продвинутый уровень · 3.4. Определите целевой уровень и спецификацию перед назначением дополнительных заданий.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на эту хорду в противоположном сегменте. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.