Арифметические и конечные геометрические последовательности · Повышенный уровень
Введено| English | Значение |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | знаменатель геометрической прогрессии |
Изменение складывается или умножается?
- План накопления добавляет ¥30 каждую неделю; модель роста населения увеличивается на 5% ежегодно. Равные разности и равные отношения требуют разных моделей.
- Этот урок посвящён общему отношению: постоянному множителю между последовательными членами геометрической прогрессии.
Выберите математическую структуру
- Арифметическая прогрессия прибавляет постоянную разность и имеет n-й член a+(n-1)d. Геометрическая прогрессия умножает на постоянный коэффициент и имеет n-й член ar^(n-1). Проверьте начальную позицию и сохраняйте точное значение корня из коэффициента, если он дан.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму только при выполнении какого условия?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Члены ar^(n-1) стремятся к нулю только тогда, когда |r|<1, поэтому сумма сходится к a/(1-r). При |r|≥1 члены не убывают, и сумма расходится.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Для 5,8,11,... n-й член равен 3n+2, следовательно u₈=26. Для 2,6,18,... общий множитель равен 3 и u_n=2×3^(n-1), что даёт u₄=54. Геометрическая последовательность 1,√2,2,2√2,... имеет отношение √2. Это вычисления конечных членов; сумма бесконечного ряда не используется.
n-й член арифметической прогрессии
u_n=5+3(n-1)
Используйте виджет арифметической прогрессии для арифметического случая. Сравните его постоянную разность с геометрической последовательностью в разобранном примере.
При a=5, d=3 найдите u_8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Восьмой член арифметической прогрессии равен 5+7×3=26.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Геометрическая прогрессия не является разностью. Показатель равен n-1, когда a — первый член на позиции 1. Конечный шаблон сам по себе не обосновывает формулу бесконечной суммы.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Общий множитель и общая разность описывают одну и ту же операцию. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Найдите общий коэффициент пропорциональности для 2,6,18.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Для 2,6,18,... отношение равно 6/2=3.
Общий коэффициент пропорциональности и общая разность описывают одну и ту же операцию.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Геометрический коэффициент пропорциональности — это не общая разность. Показатель степени равен n-1, когда a является первым членом на позиции 1. Конечный паттерн сам по себе не обосновывает формулу бесконечной суммы.
Интерпретируйте новую ситуацию
- AQA A23–A25 Higher использует арифметические правила, геометрические прогрессии и квадратичные n-е члены. Формулы сумм арифметических рядов и суммы бесконечных рядов исключены из этого урока GCSE.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найдите четвертый член последовательности 2,6,18,... .
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Четвертый член равен 2×3³=54.
Соотнесите каждую формулу с величиной, которую она определяет.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Арифметические последовательности прибавляют постоянную разность; геометрические умножают на постоянный коэффициент; лишь убывающий коэффициент дает конечную бесконечную сумму.
Примените это в своем курсе
- 8300 · Higher · 3.2. Перед назначением дополнительных заданий соотнесите целевой уровень и спецификацию экзамена.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Постоянный множитель между последовательными членами геометрической последовательности. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.